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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Calcule la derivada de la función en su dominio de definición, siendo $f(x)=$
b) $x^{3 x}+2^{x}$
b) $x^{3 x}+2^{x}$
Respuesta
Vamos a calcular la derivada de cada término de la función \( f(x) = x^{3x} + 2^x \) por separado y luego sumamos las derivadas.
Empecemos con el término \( x^{3x} \). Lo vamos a derivar siguiendo los mismos pasos que te mostré en el item anterior:
1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados en la función \( u(x) = x^{3x} \) (no le puse $f$ porque así ya se llama la función original jeje)
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$\ln(u(x)) = \ln(x^{3x})$
2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo a la derecha:
$\ln(u(x)) = 3x \ln(x)$
Ahora derivamos ambos lados de la igualdad respecto a \( x \):
$\frac{1}{u(x)} u'(x) = 3 \ln(x) + 3x \cdot \frac{1}{x}$
Reacomodando:
$\frac{u'(x)}{u(x)} = 3 \ln(x) + 3$
Finalmente, despejamos \( u'(x) \):
$u'(x) = u(x) \cdot (3 \ln(x) + 3)$
Recordando que \( u(x) = x^{3x} \), sustituimos:
$u'(x) = x^{3x} \cdot (3 \ln(x) + 3)$
Ahora derivaremos el término \( 2^x \) aplicando la regla de la cadena directamente. Pero ojo acá. Nosotros vimos cómo derivar por tabla $e^x$, ¿qué onda ahora si tenemos otro número que no sea $e$? Bueno, de manera bien general, la derivada de \( a^x \) donde \( a \) es una constante es \( a^x \ln(a) \). Entonces, en este caso la derivada nos quedaría $2^x \ln(2)$
*Pregunta, ¿te das cuenta por qué la derivada de $e^x$ queda igual?
La derivada de la función completa \( f(x) \) termina siendo...
$f'(x) = x^{3x} \cdot (3 \ln(x) + 3) + 2^x \ln(2)$