1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados en la función \( f(x) = (\sin^3(x))^{\ln(x)} \):

$\ln(f(x)) = \ln((\sin^3(x))^{\ln(x)})$ 2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo para la potencia a la derecha:

$\ln(f(x)) = \ln(x) \cdot \ln(\sin^3(x))$ 3. Otra vez usamos propiedades de logaritmos para bajar esa potencia de la derecha:

$\ln(f(x)) = \ln(x) \cdot 3\ln(\sin(x))$ Ahora derivamos ambos lados de la igualdad respecto a \( x \), usamos regla del producto a la derecha: $\frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{1}{x} \cdot 3\ln(\sin(x)) + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x)$ Reacomodando: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 3\frac{\ln(\sin(x))}{x} + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x)$ 4. Finalmente, despejamos \( f'(x) \): $f'(x) = f(x) \cdot \left(3\frac{\ln(\sin(x))}{x} + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x)\right)$ Recordando la expresión de \( f(x) \), reemplazamos y ya estamos =) $f'(x) = (\sin^3(x))^{\ln(x)} \cdot \left(3\frac{\ln(\sin(x))}{x} + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x)\right)$