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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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8. Calcule la derivada de la función en su dominio de definición, siendo f(x)=f(x)=
d) xxx^{\sqrt{x}}

Respuesta

Resolvemos de nuevo esta derivada usando los mismos razonamientos que te mostré en el primer item de este ejercicio:

1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados en la función f(x)=xx f(x) = x^{\sqrt{x}} :
ln⁡(f(x))=ln⁡(xx) \ln(f(x)) = \ln(x^{\sqrt{x}}) 2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo para la potencia a la derecha:
ln⁡(f(x))=x⋅ln⁡(x) \ln(f(x)) = \sqrt{x} \cdot \ln(x) Ahora derivamos ambos lados de la igualdad respecto a x x   1f(x)f′(x)=12x⋅ln⁡(x)+x⋅1x \frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln(x) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}  

Usando propiedades de potencias, x⋅1x= 1x\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}

1f(x)f′(x)=12x⋅ln⁡(x)+1x \frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln(x) + \frac{1}{\sqrt{x}}

f′(x)f(x)=ln⁡(x)2x+1x \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}

Finalmente, despejamos f′(x)f'(x): f′(x)=f(x)⋅(ln⁡(x)2x+1x) f'(x) = f(x) \cdot \left(\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) Recordamos la expresión de f(x)f(x), sustituimos y obtenemos la expresión final de la derivada: f′(x)=xx⋅(ln⁡(x)2x+1x) f'(x) = x^{\sqrt{x}} \cdot \left(\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)
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Lautaro
19 de mayo 20:55
Hola Profe. Ejercicios de este tipo (punto 8) no aparecen de ningun tipo en el parcial? Osea de todos los ejemplos de este punto del a al d.
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Flor
PROFE
20 de mayo 12:40
@Lautaro Hola Lautaro! Honestamente, jamás vi en los parciales de los últimos años que aparezca para derivar alguna expresión como estas... Si estás medio al horno y entendiste cómo derivar (tabla y las reglas, y cociente incremental), yo iria pasando ya a la Práctica 6 y 7 (Regla de L'Hopital y Estudio de Funciones) que de ahí por lo general sale más de la mitad del parcial (los puntos 2, 3 y 4)! De hecho fijate que hasta la práctica 5, excepto en sucesiones, todavía ni pudimos hacer ejercicios de parcial... se vienen todos a partir de ahora jaja 😉
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