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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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9. Pruebe que la función $f(x)=7 e^{k x}$ es solución de la ecuación $f^{\prime}(x)=k f(x)$.

Respuesta

Derivemos la función $f(x)=7 e^{k x}$. El $7$ es una constante multiplicando, así que simplemente la arrastramos multiplicando y derivamos $e^{kx}$, donde $k$ también es una constante que puede ser cualquiera. Nos quedaría:

$f'(x)=7 e^{k x} \cdot k $

Atenti ahí cuando aplicas regla de la cadena, la derivada de $kx$ es simplemente $k$, es el número que multiplica a la $x$. Y ahora, miremos fijo esta derivada... 

$f'(x)= [7 e^{k x}] \cdot k $

Te puse a proposito una parte en corchetes, para que te des cuenta que eso es $f(x)$, por lo tanto, también podríamos escribir la derivada así:

$f'(x)= f(x) \cdot k $

y eso es exactamente lo que queríamos probar 😃
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Avatar Ezequiel 15 de diciembre 13:29
Profe entendí el procedimiento pero qué nos quiere decir el enunciado, traduciendolo a palabras más simples? Pruebe porqué f prima= f de x por K?
Avatar Flor Profesor 15 de diciembre 21:44
@Ezequiel Lo que nos dice el enunciado es que hay una función $f$ que verifica esta ecuación

$f'(x) = k \cdot f(x)$, donde k es algún número real

Fijate que esto es una ecuación diferencial :O Lo que pasa es que acá en este punto de la materia todavía no lo sabíamos, pero es una ecuación que relaciona $f$ y sus derivadas. Las soluciones a esta ecuación son funciones $f$ que verifican que su derivada (es decir, $f'$) es igual a tener $f$ multiplicado por un número real $k$

Entonces, lo que nos pide el ejercicio es demostrar que esa $f$ que nos dan ahí es solución de nuestra ecuación diferencial... entonces lo que hacemos es buscar $f'(x)$ y chequear que efectivamente es $k \cdot f(x)$, se ve? 
Avatar Ezequiel 16 de diciembre 18:54
@Flor Después cuando pase por Ecuaciones diferenciales, debería volver a ver este comentario porque las ví muy por arriba, en resoluciones de parcial nada más. Y en clase fue de los temas que menos entendí, sino el que menos junto con Series desde la "mitad" hasta el final de dicho tema. Aun así comprendo el núcleo del comentario.  Gracias profe.
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