El Teorema de Rolle nos dice lo siguiente: Supongamos que $f$ es una función que cumple con todas estas condiciones...

1. $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos del intervalo son iguales, es decir, $f(a) = f(b)$. Si se cumplen estas condiciones, entonces existe al menos un punto $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ donde la derivada de la función se anula, es decir, $f'(c) = 0$. Ahora vamos a revisar la función $f(x) = x^{2/3}$ en el intervalo $[-1, 1]$. Esta función es: ✅ Continua en $[-1, 1]$ (de hecho es continua en todos los reales, su dominio es $\mathbb{R}$) ✅ Los valores de la función en los extremos son iguales porque $f(-1) = f(1) = 1$ Hasta acá venimos perfecto, parece que se cumplen las condiciones para aplicar el Teorema de Rolle, pero nos falta una última condición... la derivabilidad de $f(x)$ en el intervalo $(-1, 1)$. La derivada de $f(x)$ es: $f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{1/3}}$ Esta derivada no está definida cuando $x = 0$ (fijate que nos quedó el $0$ en el denominador!) Entonces, no se puede afirmar que $f(x)$ sea derivable en todo el intervalo abierto $(-1, 1)$ como requiere el Teorema de Rolle.

Por lo tanto, la función no contradice el Teorema de Rolle porque no cumple con todas las hipótesis del teorema.