El Teorema del Valor Medio nos dice lo siguiente: Si una función \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a, b)\), entonces existe al menos un número \(c\) en \((a, b)\) tal que la derivada de \(f\) en \(c\) cumple que: $ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $ Veamos si el Teorema del Valor Medio se puede aplicar a la función cuadrática \(f(x) = x^2 - 2x\) en el intervalo cerrado \([-1, 3]\). ✅ La función \(f(x)\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), en particular lo es en el intervalo \([-1, 3]\). ✅ Como \(f(x)\) es un polinomio, también es derivable en todo \(\mathbb{R}\), incluido obviamente el intervalo abierto \((-1, 3)\). Perfecto, se cumplen las condiciones del teorema, entonces nos asegura que debe haber al menos un valor \(c\) en \((-1, 3)\) tal que: $ f'(c) = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} $ Entonces, $ f(3) = 3 $ $ f(-1) = 3 $ Y ahora: $ f'(c) = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{3 - 3}{4} = 0 $ Eso significa que debemos encontrar un \(c\) tal que \(f'(c) = 0\). La derivada de \(f(x)\) es: $ f'(x) = 2x - 2 $ Para encontrar \(c\), igualamos la derivada a cero: $ 2c - 2 = 0 \Rightarrow c = 1 $ Entonces, el valor de \(c\) que satisface el Teorema del Valor Medio es \(c = 1\), y claramente $c$ pertenece al intervalo $(-1, 3)$. Esto verifica que el Teorema del Valor Medio es aplicable en este caso y nos da el valor de \(c\) que estábamos buscando ;)