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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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5. Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje xx sólo una vez.
a) f(x)=−3x+sin⁡(x),x∈Rf(x)=-3x+\sin(x), x \in \mathbb{R}

Respuesta

Para resolver este problema veamos lo siguiente. Primero entendamos cómo se comporta la función en ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞−3x+sin⁡(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} -3x+\sin(x) = -\infty

lim⁡x→−∞−3x+sin⁡(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} -3x+\sin(x) = +\infty

Ahora calculemos la derivada de ff

 f′(x)=−3+cos⁡(x)  f'(x) = -3 + \cos(x) 

Notemos que f′(x)f'(x) es siempre negativa ⇒\Rightarrow Eso nos dice que f(x)f(x) es siempre decreciente.

Entonces, teniendo en cuenta el comportamiento de ff en ++ y en −∞- \infty, y sabiendo que la función es continua y monótona decreciente, no tiene otra opción que haber cortado al eje xx una sola vez.
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Ezequiel
16 de diciembre 19:13
Buenas profe, al principio cuando tomás límite en este ejercicio, que hace el sen x? Osea oscila infinitamente, pero por que no le cambia nada al -infinito de la izquierda(hablando del primer límite)? Es debido a que no existe?
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Flor
PROFE
17 de diciembre 7:37
@Ezequiel Hola Eze! Cuando nosotros tenemos:

lim⁡x→+∞−3x+sin⁡(x)\lim_{x \to +\infty} - 3x + \sin(x)

Sacamos factor común "el que manda", que sería xx en este caso:

lim⁡x→+∞x⋅(−3+sin⁡(x)x)\lim_{x \to +\infty} x \cdot (-3 + \frac{\sin(x)}{x})

Entonces, sin⁡(x)x\frac{\sin(x)}{x} tiende a 0 cuando xx tiende a infinito (fijate que te quedó un cero por acotada), así que todo el paréntesis tiende a -3... 

Tenemos entonces algo que tiende a +∞+\infty multiplicando a algo que tiende a −3-3, por regla de signos te queda −∞-\infty 

Esos son los pasos intermedios cuando hacemos ese límite! Avisame si queda más claro
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Ezequiel
17 de diciembre 12:27
@Flor Jajajja, sí, ahora la ví. Gracias! 
1 Responder
Benjamin
9 de mayo 18:19
Consulta flor, hay algo de teoria que tenga que ver antes de ver para arrancar esta practica, sacando obviamente lo que venimos viendo de anteriores practicas y L´Hopital? Porque no entiendo muy bien el punto de estos ejercicios por lo menos del 5, como que nose por donde encararlos
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Flor
PROFE
9 de mayo 20:07
@Benjamin Hola Benja! Este ejercicio usa la idea que después en Estudio de Funciones vamos a ver todo el tiempo y es la relación entre el signo de f′(x)f'(x) en un intervalo y si entonces ff crece o decrece... si tenés que priorizar, de esta práctica claramente son los ejercicios de continuidad y derivabilidad donde ya aplicas L'Hopital y después con la Práctica 7 vas a tener para entrenerte un rato largo, porque son muchos ejercicios y largos (y tené en cuenta que dos ejercicios del parcial salen de lo que vemos en la Práctica 7)
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