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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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5. Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje xx sólo una vez.
b) f(x)=e−x−ln⁡(x),x>1f(x)=e^{-x}-\ln(x), x>1

Respuesta

Vamos a resolver este problema con un razonamiento similar al que usamos en el item anterior.

Primero entendamos cómo se comporta la función en los extremos de su dominio:
lim⁡x→+∞e−x−ln⁡(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} e^{-x}-\ln(x) = -\infty lim⁡x→1+e−x−ln⁡(x)=e−1−0=1e\lim_{x \to 1^+} e^{-x}-\ln(x) = e^{-1} - 0 = \frac{1}{e} Ahora calculemos la derivada de ff: f′(x)=−e−x−1xf'(x) = -e^{-x} - \frac{1}{x} Notemos que −e−x-e^{-x} es siempre negativo y que −1x-\frac{1}{x} también es negativo para todo x>1x > 1. Por lo tanto, f′(x)f'(x) es siempre negativa ⇒\Rightarrow Eso nos dice que f(x)f(x) es siempre decreciente. Como ff es monótona decreciente y la función tiene un valor positivo cuando xx se acerca a 1+1^+ y un valor negativo cuando x→+∞x \to +\infty, podemos asegurar que la gráfica de la función corta al eje xx una única vez.
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Benjamin
9 de mayo 18:38
por que siempre es negativo para todo x>1?
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Flor
PROFE
9 de mayo 20:09
@Benjamin Vos tenés la expresión −1x-\frac{1}{x} y estás trabajando con x>1x > 1, porque te lo dice el enunciado... entonces mirá bien la expresión −1x-\frac{1}{x}, si vos reemplazas donde dice xx cualquier número mayor a 1, siempre va a ser negativo eso ;)
0 Responder