$\lim_{x \to +\infty} e^{-x}-\ln(x) = -\infty$ $\lim_{x \to 1^+} e^{-x}-\ln(x) = e^{-1} - 0 = \frac{1}{e}$ Ahora calculemos la derivada de $f$: $f'(x) = -e^{-x} - \frac{1}{x}$ Notemos que $-e^{-x}$ es siempre negativo y que $-\frac{1}{x}$ también es negativo para todo $x > 1$. Por lo tanto, $f'(x)$ es siempre negativa $\Rightarrow$ Eso nos dice que $f(x)$ es siempre decreciente. Como $f$ es monótona decreciente y la función tiene un valor positivo cuando $x$ se acerca a $1^+$ y un valor negativo cuando $x \to +\infty$, podemos asegurar que la gráfica de la función corta al eje $x$ una única vez.