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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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5. Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje xx sólo una vez.
d) f(x)=x2n+1+x3+x+1,x∈R,n∈Nf(x)=x^{2n+1}+x^{3}+x+1, x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}

Respuesta

Lo primero que quiero que veas es que, ese 2n+12n+1 que está ahí en el exponente, siempre nos arroja un número impar para cualquier nn natural. Eso lo vamos a usar ahora cuando tomemos el límite a −∞- \infty. Mirá:
lim⁡x→+∞x2n+1+x3+x+1=+∞\lim_{x \to +\infty} x^{2n+1} + x^3 + x + 1 = +\infty lim⁡x→−∞x2n+1+x3+x+1=−∞\lim_{x \to -\infty} x^{2n+1} + x^3 + x + 1 = - \infty

(Fijate que 2n+12n+1 es la potencia que manda para todo nn natural, y al ser impar, eso asegura que cuando xx tienda a −∞-\infty la función se vaya a −∞-\infty)

Ahora calculemos la derivada de ff:

f′(x)=(2n+1)x2n+3x2+1f'(x) = (2n+1)x^{2n} + 3x^2 + 1

Fijate que ahora nos aparece 2n2n en el exponente. Ese exponente es un número par siempre, para cualquier nn natural. Ver esto te va a ayudar a darte cuenta que f′(x)f'(x) es siempre positiva, y por lo tanto, eso nos dice que f(x)f(x) es siempre creciente. 

De nuevo, tenemos una función continua, monótona creciente, que es negativa en −∞-\infty y positiva en +∞+\infty. Por lo tanto, no le queda otra que haber cortado al eje xx una vez.
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