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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
c) f(x)={4x−1+cos⁡(x)3x+sin⁡(x) si x≠01 si x=0f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0\end{array}\right. en x=0x=0

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función f(x)f(x) es derivable en x=0x=0. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de ff en x=0x=0.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función ff para ser continua en un x=x0x=x_0

a) f(x0)f(x_0) debe estar definida.
b) El límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a x0x_0 debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando xx tiende a x0x_0 debe ser igual a f(x0)f(x_0).

Veamos si nuestra ff cumple estas tres condiciones cuando x=0x=0

a) f(0)=1f(0) = 1

b) Calculamos el lim⁡x→0f(x)\lim_{x \rightarrow 0} f(x)

lim⁡x→0 4x−1+cos⁡(x)3x+sin⁡(x) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} 

Este límite ya lo resolvimos en el Ejercicio 6 d), y ahí vimos que daba 11

c) lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto ff es continua en x=0x=0.

Ahora estudiamos derivabilidad en x=0x=0. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

Reemplazamos:

lim⁡h→0+  4h−1+cos⁡(h)3h+sin⁡(h) −1  h \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{  \frac{4h-1+\cos(h)}{3h+\sin(h)}  - 1   }{h}

Primero reescribimos esa resta del numerador como una única fracción:

lim⁡h→0+ 4h−1+cos⁡(h)−3h−sin⁡(h)3h+sin⁡(h)  h \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{  \frac{4h - 1 + \cos(h) - 3h - \sin(h)}{3h+\sin(h)}   }{h}

Reacomodamos un poco la situación:

lim⁡h→0+h+cos⁡(h)−1−sin⁡(h)h(3h+sin⁡(h)) \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h + \cos(h) - 1 - \sin(h)}{h(3h + \sin(h))}

Estamos frente a un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:

lim⁡h→0+1−sin⁡(h)−cos⁡(h)3h+sin⁡(h)+h(3+cos⁡(h)) \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1 - \sin(h) - \cos(h)}{ 3h + \sin(h) + h(3 + \cos(h) ) }

Sigue el "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más:

lim⁡h→0+−cos⁡(h)+sin⁡(h)3+cos⁡(h)+3+cos⁡(h)−hsin⁡(h) \lim_{{h \to 0^+}} \frac{-\cos(h) + \sin(h) }{3 + \cos(h) + 3 + \cos(h) - h\sin(h)}

Y al fin se nos fue la indeterminación. Muchísimo cuidado con todas estas derivadas, hay mucha regla del producto dando vueltas, no te olvides! Tomamos límite y nos queda: 

lim⁡h→0+−cos⁡(h)+sin⁡(h)3+cos⁡(h)+3+cos⁡(h)−hsin⁡(h)=−18 \lim_{{h \to 0^+}} \frac{-\cos(h) + \sin(h) }{3 + \cos(h) + 3 + \cos(h) - h\sin(h)} = -\frac{1}{8}

Entonces,

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h= −18  f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = -\frac{1}{8} 

Es decir, ff es derivable en x=0x=0 y f′(0)= −18f'(0) = -\frac{1}{8}
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Carlos
22 de junio 16:09
Buenas profe, que paso ahi despues de reescribir la resta, cuando reacomodaste para aplicar L'H
0 Responder
Flor
PROFE
23 de junio 12:11
@Carlos Acá te lo escribí en la tablet a ver si queda más claro :) Esto es re importante, así que avisame porfa si se entiende por qué quedó así 

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