Resolución ejercicio 9 subitem c de Práctica 6: Teorema del Valor Medio de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Gutierrez (Única)

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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.

c) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0\end{array}\right.$ en $x=0$

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=0$.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$

a) $f(x_0)$ debe estar definida.

b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.

c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.

Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=0$

a) $f(0) = 1$

b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) $

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} $

Este límite ya lo resolvimos en el Ejercicio 6 d), y ahí vimos que daba $1$

c) $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=0$.

Ahora estudiamos derivabilidad en $x=0$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} $

Reemplazamos:

$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{4h-1+\cos(h)}{3h+\sin(h)} - 1 }{h} $

Primero reescribimos esa resta del numerador como una única fracción:

$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{4h - 1 + \cos(h) - 3h - \sin(h)}{3h+\sin(h)} }{h} $

Reacomodamos un poco la situación:

$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h + \cos(h) - 1 - \sin(h)}{h(3h + \sin(h))} $

Estamos frente a un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1 - \sin(h) - \cos(h)}{ 3h + \sin(h) + h(3 + \cos(h) ) } $

Sigue el "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más:

$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{-\cos(h) + \sin(h) }{3 + \cos(h) + 3 + \cos(h) - h\sin(h)} $

Y al fin se nos fue la indeterminación. Muchísimo cuidado con todas estas derivadas, hay mucha regla del producto dando vueltas, no te olvides! Tomamos límite y nos queda:

$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{-\cos(h) + \sin(h) }{3 + \cos(h) + 3 + \cos(h) - h\sin(h)} = -\frac{1}{8} $

Entonces,

$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = -\frac{1}{8} $

Es decir, $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = -\frac{1}{8}$

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