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a) \( (-\infty, 0) \)
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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
Tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero:
$x^2 + 1 > 0$
Esto se cumple siempre. Por lo tanto, el dominio de $f$ es $\mathbb{R}$.
2) Derivamos $f(x)$
$ f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$
Aclaración: Como $x^2 + 1$ nunca vale cero, ese denominador nunca se anula y el dominio de $f'(x)$ sigue siendo todos los reales.
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$ \frac{2x}{x^2 + 1} = 0 $
$2x = 0$
$x = 0$
Por lo tanto, el único punto crítico de $f$ es $x=0$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
b) \( (0, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En $(-\infty, 0) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow$ Por lo tanto $f$ es decreciente
En $(0, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow$ Por lo tanto $f$ es creciente
Intervalo de crecimiento: $(0, +\infty)$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, 0)$
El punto crítico $x=0$ resultó ser un mínimo de $f$.