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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
e) $f(x)=x e^{x}$
e) $f(x)=x e^{x}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
No hay ninguna restricción, el dominio es $\mathbb{R}$.
2) Derivamos $f(x)$
Usamos regla del producto, atenti!
$ f'(x) = e^x + xe^x $
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$ e^x + xe^x = 0 $
Sacamos factor común $e^x$
$ e^x(1 + x) = 0 $
Como la exponencial nunca vale cero, la única opción es que $x+1 = 0$, es decir, $x = -1$.
Por lo tanto, $x = -1$ es el único punto crítico.
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
$\square (-\infty, -1)$
$\square (-1, +\infty)$
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En $(-\infty, -1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow$ Por lo tanto $f$ es decreciente
En $(-1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow$ Por lo tanto $f$ es creciente
Intervalo de crecimiento: $(-1, +\infty)$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, -1)$
Por lo tanto, el punto crítico $x=-1$ resultó ser un mínimo.