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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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2. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
a) $f(x)=\frac{x^{2}+3 x+1}{x-1}$

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}$, entonces $x=1$ es nuestro candidato a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites cuando $x$ se acerca a 1: $\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = -\infty $ $\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = +\infty $ Como al menos uno de los límites nos dio $\infty$, confirmamos que sí hay una asíntota vertical en $x = 1$. Asintotas horizontales

Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = +\infty $

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = -\infty $

Ahí hay un paso intermedio que yo ya no estoy poniendo, pero vos en el parcial si no te olvides, que es justificar esos límites sacando factor común "el que manda" (que ya para esta altura lo hicimos mil veces jaja)

Como estos límites no nos dieron un número, entonces $f$ no tiene asíntotas horizontales. 

Asíntotas oblicuas
Sabemos que la asíntota tiene la forma \(y = mx + b\). En la clase de asíntotas vimos que, si existe asíntota oblicua, los valores de $m$ y $b$ van a salir de plantear: $ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} $ $ b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx \right) $

Arrancamos primero buscando $m$. 

$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x(x - 1)} =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 - x} = 1 $

Ahora encontramos \( b \): $ b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) $
$ b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} - x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 3x + 1 - (x^2 - x)}{x - 1}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{4x + 1}{x - 1}\right) = 4 $

Por lo tanto, esta función tiene una asíntota oblicua en $y = x + 4$
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Avatar Benjamín 28 de mayo 18:34
Hola buenas, no seria que f no tiene A.O por izquierda? porque cuando tomas limite de x cuando tiene a -infinito de f, te queda +infinito - -infinito =+infinito.


Avatar Flor Profesor 28 de mayo 20:58
@Benjamín Hola Benja! La parte que te genera duda es cuando buscamos $m$? Fijate que nos quedó un polinomio de grado $2$, sobre un polinomio de grado $2$, eso nos va a dar un número siempre... sacá tranqui factor común $x^2$ arriba y abajo, o aplica L'Hopital, y vas a ver que el límite da $1$ tanto en $+$ como en $-\infty$ (yo ahi no puse ese paso intermedio porque ya hicimos muchos de esos)
Avatar Benjamin 20 de mayo 08:48
Buenas flor una consulta, la justificacion de la asintota Horizontal, se tiene q hacer sacando factor comun si o si o puede ser por L´Hopital?
Avatar Flor Profesor 20 de mayo 17:38
@Benjamin
Lo podés hacer por cualquiera de los dos caminos :)

Por ahi si llegas a tener polinomios de grado muy alto te convenga sacar factor común el que manda, más que nada porque para salvarla con L'Hopital quizás tengas que aplicarlo varias veces seguidas (aunque son derivadas fáciles)

Pero en este tipo de ejercicios depende de vos con lo que te sientas más cómodo!
Avatar tomas 19 de mayo 20:22
Buenas Flor, tengo una duda ese x al cuadrado de donde salió? si mal no entendí, m valía 1, y queda -x. Hasta ahí todo bien, pero me descoloco ese x al cuadrado. Gracias! 2024-05-19%2020:21:08_1299414.png
Avatar Flor Profesor 20 de mayo 12:37
@tomas Hola Tomi! Fijate que cuando hacés la resta entre esas dos expresiones, en un momento deberías haber multiplicado $x-1$ por $x$ (cuando haces los "productos cruzados"), entonces por eso aparece ese $x^2 - x$ 

Lo ves?
Avatar tomas 20 de mayo 19:16
aaah, si, ese paso de reacomodar me cuesta un poquito pero bueno lo vamos llevando, gracias como siempre!!
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