Como el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}$, entonces $x=1$ es nuestro candidato a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites cuando $x$ se acerca a 1: $\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = -\infty $ $\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = +\infty $ Como al menos uno de los límites nos dio $\infty$, confirmamos que sí hay una asíntota vertical en $x = 1$. Asintotas horizontales

Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = +\infty $

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = -\infty $

Ahí hay un paso intermedio que yo ya no estoy poniendo, pero vos en el parcial si no te olvides, que es justificar esos límites sacando factor común "el que manda" (que ya para esta altura lo hicimos mil veces jaja)

Como estos límites no nos dieron un número, entonces $f$ no tiene asíntotas horizontales. 

$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x(x - 1)} =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 - x} = 1 $

Ahora encontramos \( b \): $ b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) $

$ b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} - x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 3x + 1 - (x^2 - x)}{x - 1}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{4x + 1}{x - 1}\right) = 4 $

Por lo tanto, esta función tiene una asíntota oblicua en $y = x + 4$