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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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2. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
a) f(x)=x2+3x+1x−1f(x)=\frac{x^{2}+3 x+1}{x-1}

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de ff es R−{1}\mathbb{R} - \{1\}, entonces x=1x=1 es nuestro candidato a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites cuando xx se acerca a 1: lim⁡x→1−x2+3x+1x−1=−∞\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = -\infty lim⁡x→1+x2+3x+1x−1=+∞\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = +\infty Como al menos uno de los límites nos dio ∞\infty, confirmamos que sí hay una asíntota vertical en x=1x = 1. Asintotas horizontales

Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞ x2+3x+1x−1=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = +\infty

lim⁡x→−∞ x2+3x+1x−1=−∞\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = -\infty

Ahí hay un paso intermedio que yo ya no estoy poniendo, pero vos en el parcial si no te olvides, que es justificar esos límites sacando factor común "el que manda" (que ya para esta altura lo hicimos mil veces jaja)

Como estos límites no nos dieron un número, entonces ff no tiene asíntotas horizontales. 

Asíntotas oblicuas
Sabemos que la asíntota tiene la forma y=mx+by = mx + b. En la clase de asíntotas vimos que, si existe asíntota oblicua, los valores de mm y bb van a salir de plantear: m=lim⁡x→±∞f(x)x m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} b=lim⁡x→±∞(f(x)−mx) b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx \right)

Arrancamos primero buscando mm. 

m=lim⁡x→±∞f(x)x= lim⁡x→±∞x2+3x+1x(x−1)=lim⁡x→±∞x2+3x+1x2−x=1  m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x(x - 1)} =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 - x} = 1 

Ahora encontramos b b : b=lim⁡x→±∞(f(x)−mx) b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)
b=lim⁡x→±∞(x2+3x+1x−1−x)= lim⁡x→±∞(x2+3x+1−(x2−x)x−1)= lim⁡x→±∞(4x+1x−1)=4  b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} - x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 3x + 1 - (x^2 - x)}{x - 1}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{4x + 1}{x - 1}\right) = 4 

Por lo tanto, esta función tiene una asíntota oblicua en y=x+4y = x + 4
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Benjamín
28 de mayo 18:34
Hola buenas, no seria que f no tiene A.O por izquierda? porque cuando tomas limite de x cuando tiene a -infinito de f, te queda +infinito - -infinito =+infinito.
0 Responder
Flor
PROFE
28 de mayo 20:58
@Benjamín Hola Benja! La parte que te genera duda es cuando buscamos mm? Fijate que nos quedó un polinomio de grado 22, sobre un polinomio de grado 22, eso nos va a dar un número siempre... sacá tranqui factor común x2x^2 arriba y abajo, o aplica L'Hopital, y vas a ver que el límite da 11 tanto en ++ como en −∞-\infty (yo ahi no puse ese paso intermedio porque ya hicimos muchos de esos)
0 Responder
Benjamin
20 de mayo 8:48
Buenas flor una consulta, la justificacion de la asintota Horizontal, se tiene q hacer sacando factor comun si o si o puede ser por L´Hopital?
0 Responder
Flor
PROFE
20 de mayo 17:38
@Benjamin
Lo podés hacer por cualquiera de los dos caminos :)

Por ahi si llegas a tener polinomios de grado muy alto te convenga sacar factor común el que manda, más que nada porque para salvarla con L'Hopital quizás tengas que aplicarlo varias veces seguidas (aunque son derivadas fáciles)

Pero en este tipo de ejercicios depende de vos con lo que te sientas más cómodo!
0 Responder
tomas
19 de mayo 20:22
Buenas Flor, tengo una duda ese x al cuadrado de donde salió? si mal no entendí, m valía 1, y queda -x. Hasta ahí todo bien, pero me descoloco ese x al cuadrado. Gracias! 2024-05-19%2020:21:08_1299414.png
0 Responder
Flor
PROFE
20 de mayo 12:37
@tomas Hola Tomi! Fijate que cuando hacés la resta entre esas dos expresiones, en un momento deberías haber multiplicado x−1x-1 por xx (cuando haces los "productos cruzados"), entonces por eso aparece ese x2−xx^2 - x 

Lo ves?
0 Responder
tomas
20 de mayo 19:16
aaah, si, ese paso de reacomodar me cuesta un poquito pero bueno lo vamos llevando, gracias como siempre!!
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