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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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2. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
b) f(x)=x2−3x+2(x−1)(x+1)f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x+1)}

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de ff es R−{−1,1}\mathbb{R} - \{-1,1\}, entonces x=−1x=-1 y x=1x=1 son nuestros candidatos a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites:

👉 En x=−1x=-1

En este caso el numerador tiende a un número (tiende a 66) y el denominador tiende a cero. Así que esto efectivamente se va a estar yendo a infinito y tendremos asíntota vertical. Para ver el signo abrimos por derecha y por izquierda:

lim⁡x→−1−x2−3x+2(x−1)(x+1)=+∞\lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}=+\infty.
lim⁡x→−1+x2−3x+2(x−1)(x+1)=−∞\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}=-\infty.

En conclusión, en x=−1x=-1 tenemos asíntota vertical.

👉 En x=1x=1

Ojo que en este caso el denominador tiende a cero, pero el numerador también! Estamos frente a una indeterminación de tipo cero sobre cero:

lim⁡x→1x2−3x+2(x−1)(x+1)\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}

Aplicamos L'Hopital, nos queda:

lim⁡x→1 2x−32x=−12\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x-3}{2x} = -\frac{1}{2}

Por lo tanto, en x=1x=1 no hay asíntota vertical.

Asintotas horizontales

Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

 lim⁡x→±∞x2−3x+2(x−1)(x+1)=lim⁡x→±∞x2−3x+2x2−1=1  \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}= \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{x^2-3x+2}{x^2 -1} = 1

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=1y = 1 tanto en ++ como en −∞-\infty. 

Como ya tenemos asíntotas horizontales no es posible tener oblicuas, así que no las estudiamos.
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ExaComunidad
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Pablo
29 de mayo 16:15
Hola, Flor! Pregunta sobre la asintota vertical en -1...el limite en -1 por derecha no deberia ser +∞ y por izquierda -∞? porque por derecha el 0 el denominador te queda con signo positivo y por izquierda queda con signo negativo
0 Responder
Flor
PROFE
29 de mayo 22:39
@Pablo Hola Pablo! Nono, ojo, te queda justo al revés el denominador... Por derecha sería algo así como un −0.999...-0.999..., fijate que si reemplazas eso en la expresión del denominador te queda negativo, y por izquierda sería algo asi como un −1.0001-1.0001, si lo reemplazas en el denominador te queda positivo... 

Este tip es re fuerza bruta pero no falla jajaja principalmente cuando son números negativos te salva en un parcial!

Muchisima suerte si rendis mañanaaaa :) Si te llega a tocar algo así te vas a acordar de mi! jaja
2 Responder