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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
d) $f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}}$
d) $f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}}$
Respuesta
Asíntotas verticales
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Como el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0\}$, entonces $x=0$ es nuestro candidato a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es, tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$.
$
\lim_{{x \to 0^-}} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = +\infty
$
$
\lim_{{x \to 0^+}} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = +\infty
$
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota vertical en $x=0$.
Asíntotas horizontales
Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = +\infty $
$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = -\infty $
Como estos límites no nos dieron un número, entonces $f$ no tiene asíntotas horizontales.
Asíntotas oblicuas
Sabemos que la asíntota tiene la forma \(y = mx + b\). En la clase de asíntotas vimos que, si existe asíntota oblicua, los valores de $m$ y $b$ van a salir de plantear:
$
m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}
$
$
b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx \right)
$
Arrancamos primero buscando $m$.
\(m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 \cdot x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^3} = 1 \)
Buscamos ahora $b$:
\(b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 - 3x^2 + 4 - x^3}{x^2} \right) =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3x^2 + 4}{x^2} = -3 \)
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es $y = x -3$