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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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2. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
d) f(x)=x3−3x2+4x2f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}}

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} - \{0\}, entonces x=0x=0 es nuestro candidato a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es, tomamos límite cuando xx tiende a 00.  

lim⁡x→0−x3−3x2+4x2=+∞ \lim_{{x \to 0^-}} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = +\infty
lim⁡x→0+x3−3x2+4x2=+∞ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = +\infty

Por lo tanto, ff tiene una asíntota vertical en x=0x=0.

Asíntotas horizontales

Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞ x3−3x2+4x2 =+∞\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = +\infty

lim⁡x→−∞ x3−3x2+4x2 =−∞\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} = -\infty

Como estos límites no nos dieron un número, entonces ff no tiene asíntotas horizontales. 

Asíntotas oblicuas
Sabemos que la asíntota tiene la forma y=mx+by = mx + b. En la clase de asíntotas vimos que, si existe asíntota oblicua, los valores de mm y bb van a salir de plantear: m=lim⁡x→±∞f(x)x m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} b=lim⁡x→±∞(f(x)−mx) b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx \right)

Arrancamos primero buscando mm. 

m=lim⁡x→±∞x3−3x2+4x2⋅x=lim⁡x→±∞x3−3x2+4x3=1 m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 \cdot x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^3} = 1 

Buscamos ahora bb:

b=lim⁡x→±∞(x3−3x2+4x2−x)= lim⁡x→±∞(x3−3x2+4−x3x2)=lim⁡x→±∞−3x2+4x2=−3 b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 - 3x^2 + 4 - x^3}{x^2} \right) =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3x^2 + 4}{x^2} = -3 

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es y=x−3y = x -3
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