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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
d) $f(x)=\frac{1-x}{2 x+3}$
d) $f(x)=\frac{1-x}{2 x+3}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos que pedir que $2x+3 \neq 0$. Despejando, llegamos a la conclusión que el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{-\frac{3}{2} \}$
2) Derivamos $f(x)$
Usamos regla del cociente:
$
f'(x) = \frac{-1(2x+3) - (1-x)2}{(2x+3)^2} = \frac{-2x-3 -2 + 2x}{(2x+3)^2} = \frac{-5}{(2x+3)^2}
$
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$\frac{-5}{(2x+3)^2} = 0$
Esta expresión nunca vale cero. Por lo tanto, no tenemos puntos críticos.
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
b) \( (-\frac{3}{2}, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
Acá podés evaluar el signo de $f'(x)$ en cada intervalo, como venimos haciendo, pero fijate que si mirás con atención la expresión de $f'(x)$ te vas a dar cuenta que siempre es negativa. Por lo tanto, $f$ es siempre decreciente en su dominio.
Entonces, recapitulando:
Intervalo de crecimiento: $\emptyset$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, +\infty)$