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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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5. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
a) $f(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x$

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de esta función es $\mathbb{R}$, no tiene asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Calculamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$\lim_{x \to -\infty} x+e^{x} \sin (x) $

Acordate que $e^{x}$ tiende a $0$ cuando el exponente tiende a $-\infty$... y está multiplicando a una función que está acotada! Así que nos queda:

$\lim_{x \to -\infty} x+e^{x} \sin (x) = -\infty + 0 = -\infty $

Ahora calculamos el límite $x \to +\infty$

$\lim_{x \to +\infty} x+e^{x} \sin (x) $

Ojo acá, el límite 

$\lim_{x \to +\infty} e^{x} \sin (x) $

no existe, esto oscila haciendose cada vez más y más grande. 

Por lo tanto, 

$\lim_{x \to +\infty} x+e^{x} \sin (x) =$ No existe

En conclusión $f$ no tiene asíntotas horizontales. Veamos si en $-\infty$ tenemos asíntota oblicua:

Asíntota oblicua

\( m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + e^x \sin(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} 1 + \frac{e^x \sin(x)}{x} = 1 + 0 = 1 \)

\( b = \lim_{x \to -\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to -\infty} (x + e^x \sin(x) - x) = 0\) 

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua en $y = x$ en $-\infty$
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Avatar Ezequiel 25 de diciembre 15:45
Buenas profe, tengo dudas. En el cuarto paso de asíntotas horizontales, cuando decís que lim tendiendo a más infinito de e^x por sen(x) no existe, hay alguna de forma de demostrarlo? (Como hacemos a veces)
Ahora bien, si no existe, ok, pero no se puede poner el resultado del que existe?Claro el que no existe no es igual a cero.
Avatar Flor Profesor 26 de diciembre 19:36
@Ezequiel Hola Eze! Lo más importante es que hayas entendido por qué no existe... Fijate que tenés algo que tiende a $+\infty$ multiplicando a algo que oscila todo el tiempo... entonces, en más infinito vas a tener una función que en + infinito sigue oscilando haciéndose cada vez más grande (probá de graficarla en GeoGebra) 

Si fuera el parcial a desarrollar, lo podés justificar así, tipo lo escribis... pero vos ahora estás preparando el final, así que por eso me quiero quedar tranqui que hayas entendido bien eso!

Por otra parte, en $-\infty$ ahí el límite si existe, por eso pusimos el resultado... pero ahí la situación es otra, porque tenemos algo que tiende a cero ($e^{x}$ tiende a 0 cuando $x$ tiende a $-\infty$) multiplicando a algo que oscila... entonces vas a tener ahora algo que sigue oscilando en menos infinito pero se acerca cada vez más al cero (oscilando) 
Avatar Ezequiel 27 de diciembre 16:31
@Flor Buenísimo Flor. Muchas gracias.
Avatar Benjamín 28 de mayo 20:55
Hola buenas. Por qué calculaste el limite en menos infinito de la asintota oblicua y no en mas infinito?
Avatar Flor Profesor 29 de mayo 09:28
@Benjamín Hola Benja! Porque en $+\infty$ esta función oscila haciendo cada vez más y más grande, jamás se podría estar pegando a una asíntota ni horizontal ni oblicua (graficala en GeoGebra y creo que se va a ver más claro lo que digo)
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