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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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5. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
c) f(x)=xln⁡(e−1x)f(x)=x \ln \left(e-\frac{1}{x}\right)

Respuesta

Asíntotas verticales

Para determinar el dominio de esta función, por un lado fijate que x≠0x \neq 0, y además tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero:

e−1x>0 e - \frac{1}{x} > 0

ex−1x>0\frac{ex-1}{x} > 0

Vamos a resolver esto con las mismas ideas que usamos allá hace tiempo, al principio de la materia jaja... Si tenemos un cociente que nos está dando algo positivo (>0)(>0), entonces hay dos opciones:

Opción 1: Numerador y denominador positivos

x>0x > 0 

y 

ex−1>0→x>1eex - 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{e}

Es decir, es el conjunto (1e,+∞)(\frac{1}{e}, + \infty) 

Opción 2: Numerador y denominador negativos

x<0x < 0 

y 

ex−1<0→x<1eex - 1 < 0 \rightarrow x < \frac{1}{e}

Es decir, es el conjunto (−∞,0)(-\infty, 0)

Por lo tanto, el dominio de ff es (−∞,0)∪ (1e,+∞)(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{e}, + \infty)

Con este dominio, nuestros candidatos a asíntota vertical son los bordes, es decir, x=0x = 0 y x= 1ex= \frac{1}{e}

Estudiamos primero x=0x=0, tomamos límite cuando xx tiende a 00 por izquierda:

lim⁡x→0−  xln⁡(e−1x)\lim_{x \to 0^-}  x \ln(e-\frac{1}{x})

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Acordate que ln⁡(+∞)=+∞\ln(+\infty) = +\infty. Reescribimos como un cociente para poder aplicar L'Hopital:

lim⁡x→0− ln⁡(e−1x)  1x \lim_{x \to 0^-}  \frac{ \ln(e-\frac{1}{x}) }{ \frac{1}{x} }

Ahora es una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplico L'Hopital:

lim⁡x→0− 1e−1x⋅ 1x2 −1x2 = lim⁡x→0−−1e−1x=0 \lim_{x \to 0^-} \frac{ \frac{1}{e-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} }{ -\frac{1}{x^2} } = \lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{e-\frac{1}{x}} = 0 

Como el límite no nos dio ∞\infty, x=0x=0 no es asíntota vertical 

(Pregunta, ¿por qué no calculo el límite por derecha?)

Ahora estudiamos si x= 1ex= \frac{1}{e} es asíntota vertical. Tomamos el límite por derecha:

lim⁡x→(1e)+  xln⁡(e−1x)\lim_{x \to (\frac{1}{e})^+}  x \ln(e-\frac{1}{x})

Acordate que ln⁡(0+)=−∞\ln(0^+) = -\infty, por lo tanto este límite nos da...

lim⁡x→(1e)+  xln⁡(e−1x)=−∞\lim_{x \to (\frac{1}{e})^+}  x \ln(e-\frac{1}{x}) = -\infty

Es decir, ff tiene una asíntota vertical en x= 1ex= \frac{1}{e}. 

(Pregunta, ¿y acá por qué no lo calculé por izquierda? Pista, es por la misma razón que en la anterior)

Asíntotas horizontales

lim⁡x→+∞ xln⁡(e−1x)=+∞\lim_{x \to +\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) = +\infty

lim⁡x→−∞ xln⁡(e−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) = -\infty

Como no tenemos asíntotas horizontales, estudiamos si hay asíntotas oblicuas:

Asíntotas oblicuas

m=lim⁡x→±∞f(x)x= lim⁡x→±∞   xln⁡(e−1x)  x= lim⁡x→±∞  ln⁡(e−1x)=ln⁡(e)=1 m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{  x \ln(e-\frac{1}{x})   }{x} = \lim_{x \to \pm\infty}  \ln(e-\frac{1}{x}) = \ln(e) = 1

b=lim⁡x→±∞f(x)−mx=lim⁡x→±∞ xln⁡(e−1x) −x b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to \pm\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) - x

Acá nos pasa algo parecido a lo que nos pasó en el anterior item, estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Vamos a usar razonamientos similares a los del item anterior. Sacamos factor común xx:

lim⁡x→±∞ xln⁡(e−1x) −x=x⋅(ln⁡(e−1x) −1)\lim_{x \to \pm\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) - x = x \cdot (\ln(e-\frac{1}{x}) - 1)

Ahora lo convertimos en una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribimos como un cociente para aplicar L'Hopital:

lim⁡x→ ±∞ ln⁡(e−1x)−1 1x \lim_{x \to \pm\infty}  \frac{ \ln(e-\frac{1}{x}) -1 }{ \frac{1}{x} }

Ahora estamos frente a un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→ ±∞ 1e−1x⋅ 1x2 −1x2 = lim⁡x→ ±∞−1e−1x=−1e\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ \frac{1}{e-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} }{ -\frac{1}{x^2} } = \lim_{x \to \pm\infty} -\frac{1}{e-\frac{1}{x}} = -\frac{1}{e}

Por lo tanto, b= −1eb = -\frac{1}{e}.

La función tiene una asíntota oblicua en y=x− 1ey = x - \frac{1}{e} 
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Ezequiel
29 de diciembre 20:47
Buenas profe, en qué casos se puede sacar límite evaluando +infinito y -infinito al mismo tiempo al momento de buscar las asíntotas oblicuas y qué casos no? Evidentemente si no existe el límite de f(x) en por ejemplo más infinito, no busco por más infinito la oblicua de f(x).
0 Responder
Flor
PROFE
30 de diciembre 21:39
@Ezequiel Hola Eze! Eso es más para "ahorrar tiempo", porque muchas veces el límite tanto en + como en - infinito nos da exactamente el mismo resultado, pero si no te das cuenta o te confunde más, hace primero a + infinito y después a - infinito 

Aclaro por las dudas, si por ejemplo en + infinito la función tiene una asíntota horizontal, entonces ahí ya no buscamos asíntota oblicua en + infinito (y misma idea para - infinito)
1 Responder
Ezequiel
12 de marzo 16:36
@Flor ok, gracias.
1 Responder
Maggui
23 de mayo 16:11
no se me ocurre por qué no calculaste 0 por derecha, lo mismo con 1/e, la verdad no tengo idea
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 20:56
@Maggui Maggui, fijate que el dominio de la función es

(−∞,0)∪ (1e,+∞)(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{e}, + \infty)

Cuando nosotros tomamos límite, queremos saber qué le pasa a la función cuando xx toma esos valores... Entre 00 y 1/e1/e es tierra de nadie jajaja no hay función, entonces por eso no tiene sentido tomar límite cuando xx tiende a 00 por derecha por ejemplo, porque esa es una zona donde no hay función, xx nunca va a tomar valores cercanos a cero por derecha...

Se ve ahora el por qué?
1 Responder
Maggui
25 de mayo 18:28
ahh!! si!! no se me había ocurrido, gracias!!
0 Responder