Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

Anterior Siguiente
5. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
d) f(x)=2x+1+x2f(x)=2 x+\sqrt{1+x^{2}}

Respuesta

Asíntotas verticales

El dominio de esta función es R\mathbb{R} (¿por qué? ¿cómo es lo de adentro de la raíz cuadrada?). Por lo tanto, no tiene asíntotas verticales. 

Asíntotas horizontales

lim⁡x→+∞ 2x+1+x2=+∞\lim_{x \to +\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} = + \infty

lim⁡x→−∞ 2x+1+x2\lim_{x \to -\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}}

Apa, qué es este límite? Es del estilo a los primeros límites que resolvíamos, los de la Práctica 4! Es una indeterminación infinito menos infinito, pero con esa raíz cuadrada seguramente nos pueda ayudar multiplicar y dividir por el conjugado (no te olvides todas las herramientas que ganaste antes!)

De estos límites ya hicimos un montón en la Práctica 3 y 4, una vez que multiplicás y dividis por el conjugado empezas a sacar factor común "el que manda", arrancando primero por la raíz. Ojo porque te va a quedar en un momento x2\sqrt{x^2}, eso es ∣x∣|x|... y xx tiende a −∞-\infty, es recontra negativo! Por lo tanto ahí vas a escribir ∣x∣=−x|x| = -x. ¿Te animás a hacerlo vos? Deberías llegar a...

lim⁡x→−∞ 2x+1+x2=−∞\lim_{x \to -\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} = -\infty

(No te preocupes que en el próximo paso al calcular las asíntotas oblicuas tenemos que hacer un límite parecido a este y ese si lo voy a hacer, así aprovechás y refrescás)

Estudiamos entonces asíntotas oblicuas:

Asíntotas oblicuas

Pendiente

m=lim⁡x→±∞f(x)x= lim⁡x→±∞   2x+1+x2 x m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{  2 x+\sqrt{1+x^{2}}  }{x}

De nuevo, este es un límite conocido que sabemos resolver multiplicando y dividiendo por el conjugado (en principio, podrías aplicar L'Hopital pero vas a entrar en un loop de derivadas y no se te va a salvar nunca la indeterminación)

lim⁡x→±∞(2x+1+x2)(2x−1+x2)x(2x−1+x2) \lim_{x \to \pm\infty} \frac{(2x + \sqrt{1+x^2})(2x - \sqrt{1+x^2})}{x(2x - \sqrt{1+x^2})}

Diferencia de cuadrados, blabla, lo de siempre...

lim⁡x→±∞3x2−1x(2x−1+x2) \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - \sqrt{1+x^2})}

Sacamos factor común x2x^2 adentro de la raíz:

lim⁡x→±∞3x2−1x(2x−x2(1+1x2)) \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})})}

Ojo ahora cuando distribuyo la raíz:

lim⁡x→±∞3x2−1x(2x−∣x∣1+1x2) \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})}

¡Módulo de xx! Entonces ahora nos cambia la situación. Cuando x→+∞x \to +\infty vamos a escribir ∣x∣=x|x| = x. En cambio, cuando x→−∞x \to -\infty vamos a escribir ∣x∣=−x|x| = -x

Ahora si, separamos las aguas y calculamos los dos límites por separado:

lim⁡x→+∞3x2−1x(2x−x1+1x2) \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})}

Hacemos distributiva con esa xx del denominador:

lim⁡x→+∞3x2−12x2−x21+1x2 \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 - x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}

Ahora si seguimos como siempre, acá sacas factor común x2x^2 en numerador y denominador, esto te lo dejo para que lo completes vos en tu hoja, deberías llegar a:

lim⁡x→+∞3x2−12x2−x21+1x2=3 \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 - x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 3

Por lo tanto, en +∞+\infty nuestra posible asíntota oblicua tiene pendiente m=3m = 3

Ahora veamos qué pasa en −∞-\infty

lim⁡x→+∞3x2−1x(2x+x1+1x2) \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x + x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})}

lim⁡x→+∞3x2−12x2+x21+1x2 \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}

Ya no queda nada acá, sacá factor común x2x^2 en numerador y denominador y nos queda...

lim⁡x→+∞3x2−12x2+x21+1x2=1 \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 1

Por lo tanto, en −∞-\infty nuestra posible asíntota oblicua tiene pendiente m=1m = 1

Ordenada al origen

Vamos ahora a ver quién es bb en cada caso. Arrancamos primero con +∞+\infty.

b=lim⁡x→+∞f(x)−mx=lim⁡x→+∞ 2x+1+x2 −3x= lim⁡x→+∞1+x2 −x b = \lim_{x \to +\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to +\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} - 3x = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+x^{2}} - x

Multiplicando y dividiendo por el conjugado, sale enseguida que este límite da 00.

Por lo tanto, ff tiene una asíntota oblicua en y=3xy = 3x en +∞+\infty.

Sigamos ahora con −∞-\infty

b=lim⁡x→−∞f(x)−mx=lim⁡x→−∞ 2x+1+x2 −x= lim⁡x→−∞1+x2+x b = \lim_{x \to -\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to -\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} - x = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1+x^{2}} + x

Y de nuevo, multiplicando y dividiendo por el conjugado sale enseguida también que este da 00.

Por lo tanto, ff tiene una asíntota oblicua en y=xy = x en −∞-\infty.

Uffff, estuvo intenso este jaja pero mirá que linda f(x)f(x) con sus dos asíntotas oblicuas 😅

2024-04-16%2016:57:11_6903657.png
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.