El dominio de esta función es $\mathbb{R}$ (¿por qué? ¿cómo es lo de adentro de la raíz cuadrada?). Por lo tanto, no tiene asíntotas verticales. 

$\lim_{x \to +\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} = + \infty$

$\lim_{x \to -\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} $

Apa, qué es este límite? Es del estilo a los primeros límites que resolvíamos, los de la Práctica 4! Es una indeterminación infinito menos infinito, pero con esa raíz cuadrada seguramente nos pueda ayudar multiplicar y dividir por el conjugado (no te olvides todas las herramientas que ganaste antes!)

De estos límites ya hicimos un montón en la Práctica 3 y 4, una vez que multiplicás y dividis por el conjugado empezas a sacar factor común "el que manda", arrancando primero por la raíz. Ojo porque te va a quedar en un momento $\sqrt{x^2}$, eso es $|x|$... y $x$ tiende a $-\infty$, es recontra negativo! Por lo tanto ahí vas a escribir $|x| = -x$. ¿Te animás a hacerlo vos? Deberías llegar a...

$\lim_{x \to -\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} = -\infty$

(No te preocupes que en el próximo paso al calcular las asíntotas oblicuas tenemos que hacer un límite parecido a este y ese si lo voy a hacer, así aprovechás y refrescás)

Estudiamos entonces asíntotas oblicuas:

$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{  2 x+\sqrt{1+x^{2}}  }{x} $

De nuevo, este es un límite conocido que sabemos resolver multiplicando y dividiendo por el conjugado (en principio, podrías aplicar L'Hopital pero vas a entrar en un loop de derivadas y no se te va a salvar nunca la indeterminación)

$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{(2x + \sqrt{1+x^2})(2x - \sqrt{1+x^2})}{x(2x - \sqrt{1+x^2})} $

Diferencia de cuadrados, blabla, lo de siempre...

$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - \sqrt{1+x^2})} $

Sacamos factor común $x^2$ adentro de la raíz:

$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})})} $

Ojo ahora cuando distribuyo la raíz:

$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})} $

¡Módulo de $x$! Entonces ahora nos cambia la situación. Cuando $x \to +\infty$ vamos a escribir $|x| = x$. En cambio, cuando $x \to -\infty$ vamos a escribir $|x| = -x$

Ahora si, separamos las aguas y calculamos los dos límites por separado:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x - x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})} $

Hacemos distributiva con esa $x$ del denominador:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 - x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} $

Ahora si seguimos como siempre, acá sacas factor común $x^2$ en numerador y denominador, esto te lo dejo para que lo completes vos en tu hoja, deberías llegar a:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 - x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 3 $

Por lo tanto, en $+\infty$ nuestra posible asíntota oblicua tiene pendiente $m = 3$

Ahora veamos qué pasa en $-\infty$

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x(2x + x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})} $

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} $

Ya no queda nada acá, sacá factor común $x^2$ en numerador y denominador y nos queda...

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 1$

Por lo tanto, en $-\infty$ nuestra posible asíntota oblicua tiene pendiente $m = 1$

Vamos ahora a ver quién es $b$ en cada caso. Arrancamos primero con $+\infty$.

$ b = \lim_{x \to +\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to +\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} - 3x = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+x^{2}} - x$

Multiplicando y dividiendo por el conjugado, sale enseguida que este límite da $0$.

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua en $y = 3x$ en $+\infty$.

Sigamos ahora con $-\infty$

$ b = \lim_{x \to -\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to -\infty} 2 x+\sqrt{1+x^{2}} - x = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1+x^{2}} + x $

Y de nuevo, multiplicando y dividiendo por el conjugado sale enseguida también que este da $0$.

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua en $y = x$ en $-\infty$.

Uffff, estuvo intenso este jaja pero mirá que linda $f(x)$ con sus dos asíntotas oblicuas 😅