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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
e) $f(x)=\frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1}$
e) $f(x)=\frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1}$
Respuesta
Asíntotas verticales
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El dominio de esta función es $\mathbb{R}$ (acordate que la exponencial siempre es mayor estricto que cero, por lo tanto $5e^x +1$ nunca puede vale cero) Esta función, entonces, no tiene asíntotas verticales
Asintotas horizontales
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1} $
Estamos frente a un "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^{x}}{5 e^{x}} = \frac{3}{5} $
Vamooooos! Después de lo que venía sufriendo escribiendo los choclazos de los items anteriores, no se imaginan cómo estoy disfrutando esto jajaja... $f(x)$ tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{3}{5} $ en $+\infty$.
Ahora veamos qué pasa en $-\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1} = 0 $
Hermoso, no hay ninguna indeterminación ni siquiera. El numerador tiende a $0$ y el denominador tiende a $1$, por lo tanto el límite da $0$, y decimos que $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$.
Como ya tenemos asíntotas horizontales en $+$ y en $-\infty$, entonces ya sabemos que no va a haber asíntotas oblicuas y el ejercicio terminó acá.