Volver a Guía
Ir al curso
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
$ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = 0 $
Factorizamos para resolver la ecuación, saco factor común
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
l) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)$
l) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
Yo arrancaría haciendo la distributiva y reescribiendo esta función como:
$f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} $
(Esto lo hago sólo porque me parece que va a resultar más fácil trabajar con la función así!)
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} = -\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} = +\infty $
Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} $
Ojo ojo, antes de avanzar, mucho cuidado acá! Nos quedó un $x^{-\frac{1}{3}}$ por ahí... eso es $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$. Esa $x$ está en el denominador, por lo tanto el dominio de $f$ excluye a $x=0$. Pero $x=0$ si formaba parte del dominio de $f$, por lo tanto, como vimos en la clase, es un punto crítico.
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para ver si tenemos otros puntos críticos:
$ \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}}(2 - 5x) = 0 $
La única solución de esta ecuación es $x = \frac{2}{5}$, así que ahí tenemos otro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $0 < x < \frac{2}{5}$
c) $x > \frac{2}{5}$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $0 < x < \frac{2}{5}$,
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $x > \frac{2}{5}$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante🤖
¡Hola! Soy ExaBoti
Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar esta respuesta? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar este comentario? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar esta respuesta? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar esta respuesta? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar este comentario? Esta acción no se puede deshacer.