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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
c) $f(x)=e^{-x^{2}}$
c) $f(x)=e^{-x^{2}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0 $
$ \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0 $
Por lo tanto $f$ tiene una asíntota horizontal en $y=0$.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = -2xe^{-x^2} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ -2xe^{-x^2} = 0 $
La única solución a esta ecuación es $x = 0$ porque la función exponencial nunca es cero. Por lo tanto, $x = 0$ es nuestro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $x > 0$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $x > 0$,
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
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