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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
g) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$
g) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
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Pidiendo que el denominador sea distinto de cero, llegamos a que el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{-1,1\}$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Nuestros candidatos a asíntota vertical son $x=-1$ y $x=1$. Estudiamos el comportamiento de la función cerca de ellos tomando límite:
$ \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{x^2 - 1} = -\infty $
$ \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x^2 - 1} = +\infty $
$ \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{x^2 - 1} = -\infty $
$ \lim_{x \to -1^+} \frac{x}{x^2 - 1} = +\infty $
Por lo tanto, hay asíntotas verticales en $x = 1$ y $x = -1$.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0 $
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0 $
Esto indica que $f$ tiene una asíntota horizontal en $y=0$.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{(x^2 - 1) - x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0$
$-x^2-1 = 0$
$x^2 = -1 \rightarrow$ Absurdo
Por lo tanto, $f$ no tiene puntos críticos.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:a) \( (-\infty, -1) \)
b) \( (-1, 1) \)
c) \( (1, +\infty) \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
Y ahora podés reemplazar con algún número de cada intervalo en $f'(x)$ e ir chequeando qué signo te da, como siempre, pero también si mirás con atención la expresión de $f'(x)$, vas a ver que algo así siempre siempre te va a devolver un número negativo. Por lo tanto, $f$ es siempre decreciente en su dominio.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: