Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

Anterior Siguiente
7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
i) f(x)=x2+100x2−25f(x)=\frac{x^{2}+100}{x^{2}-25}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso, el denominador x2−25x^2 - 25 es cero cuando x=5x = 5 o x=−5x = -5. Por lo tanto, el dominio de ff es todo R\mathbb{R} excluyendo x=5x = 5 y x=−5x = -5.
2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Calculamos los límites cuando xx tiende a 55 y −5-5, nuestros candidatos a asíntota vertical:

lim⁡x→5−x2+100x2−25=−∞ \lim_{x \to 5^-} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = -\infty lim⁡x→5+x2+100x2−25=+∞ \lim_{x \to 5^+} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = +\infty
lim⁡x→−5−x2+100x2−25=+∞ \lim_{x \to -5^-} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = +\infty lim⁡x→−5+x2+100x2−25=−∞ \lim_{x \to -5^+} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = -\infty

Por lo tanto, hay asíntotas verticales en x=5x = 5 y x=−5x = -5.
  - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x2+100x2−25=lim⁡x→+∞x2(1+100x2)x2(1−25x2)=1 \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + \frac{100}{x^2})}{x^2(1 - \frac{25}{x^2})} = 1 lim⁡x→−∞x2+100x2−25=lim⁡x→−∞x2(1+100x2)x2(1−25x2)=1 \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{100}{x^2})}{x^2(1 - \frac{25}{x^2})} = 1  
Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=1y=1 tanto para xx tendiendo a +∞+\infty como a −∞-\infty. 
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=(x2−25)(2x)−(x2+100)(2x)(x2−25)2 f'(x) = \frac{(x^2 - 25)(2x) - (x^2 + 100)(2x)}{(x^2 - 25)^2}  

Reacomodamos un poco:

f′(x)=−250x(x2−25)2 f'(x) = \frac{-250x}{(x^2 - 25)^2}   4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:
−250x(x2−25)2=0 \frac{-250x}{(x^2 - 25)^2} = 0

−250x=0 -250x = 0

x=0x = 0

La única solución es x=0x = 0, por lo que ese es nuestro punto crítico.

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−5x < -5
b) −5<x<0-5 < x < 0
c) 0<x<50 < x < 5
d) x>5x > 5  6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<−5x < -5 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para −5<x<0-5 < x < 0
f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. c) Para 0<x<50 < x < 5 
f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente.

d) Para x>5 x > 5
f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente.
  Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2019:40:20_4321450.png
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Maggui
24 de mayo 22:48
una pregunta, por qué cuando x tiende a -5 por derecha da negativo y cuando lo hace por izquierda da positivo?? el grafico me habia quedado todo mal porque me confundí en esos resultados😭
0 Responder
Flor
PROFE
25 de mayo 14:06
@Maggui Hola Maggui! Fijate que un −5-5 por derecha sería algo así como −4.9999-4.9999 y un −5-5 por izquierda sería como un −5.0001...-5.0001... 

Vos esto no lo pongas explícitamente en el parcial, sólo en tu hoja borrador, y ahi reemplaza despacito estos números en la expresión y avisame si ahi te da! Parece una boludez pero en estos casos es re común confundirse y mejor reemplazar y estar seguros :D
0 Responder
Maggui
25 de mayo 18:29
muchas gracias! 
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 14:30
Para x mayores a 5, no es creciente??? el numerador siempre va a ser negativo en del 5 para adelante, porque es un numero negativo por uno positivo, abajo si queda positivo siempre, pero arriba no.
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:48
@Benjamin Ah no, claramente estaba re quemada cuando hice este ejercicio! jajaja ahí lo edite, efectivamente ff es siempre decreciente para xx mayores a 55 (hasta se ve en el gráfico jajaja)
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:15
jajaja okok, gracias
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 14:25
una pregunta, no quedaria -250x/(x^2-25)^2 ? porque en la distributiva de antes quedaria los 2x^3 que se me van, y despues queda (2x*-25)=-50x 
-50x - (2x*100)= 200x
-50x-200x=-250x
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:46
@Benjamin Siiii, eso fue error de cuenta de mío! 🫣 Ahí lo acabo de modificar, bien ahí que te diste cuenta, graciassss!

Pero igual fijate que al estar igualada a cero esa derivada, no terminó cambiando el resultado del despeje y el punto crítico sigue siendo x=0x=0... No entendí bien qué es lo que vos querías hacer después! Chequeá si ahora que lo edité coincide con lo que tenés en tu hoja y si se entiende
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:14
sisi coincide jaja, cuando lo estaba haciendo me quedo el -250x
0 Responder