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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
p) f(x)=x−3(x−5)23f(x)=x-3(x-5)^{\frac{2}{3}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

Lo primero que quiero que veas es que:

(x−5)23=(x−5)23(x-5)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-5)^2}

y como es una raíz cúbica, no tenemos ninguna restricción. Por lo tanto, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x−3(x−5)23 \lim_{x \to +\infty} x - 3(x - 5)^{\frac{2}{3}}

Ojo acá, tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito" (hace despacito las cuentas, regla de signos). Para poder salvarla, fijate que pasa si saco factor común xx:

lim⁡x→+∞ x(1−3(x−5)23x) \lim_{x \to +\infty}  x \left(1 - \frac{3(x - 5)^{\frac{2}{3}}}{x} \right)

Y ahí adentro del paréntesis nos quedó esta expresión:

3(x−5)23x\frac{3(x - 5)^{\frac{2}{3}}}{x}

donde tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Aplicamos L'Hopital en un cálculo auxiliar para ver a dónde tiende:

lim⁡x→+∞3⋅23(x−5)−131= lim⁡x→+∞ 2x−53=0 \lim_{x \to +\infty} \frac{3 \cdot \frac{2}{3}(x - 5)^{-\frac{1}{3}}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt[3]{x - 5}} = 0

Por lo tanto, volvemos a nuestro límite:

lim⁡x→+∞ x(1−3(x−5)23x)=+∞ \lim_{x \to +\infty}  x \left(1 - \frac{3(x - 5)^{\frac{2}{3}}}{x} \right) = +\infty

Ahora probá de hacer lo mismo con el límite a −∞-\infty (donde pasa exactamente lo mismo) y llegamos a que...
lim⁡x→−∞x−3(x−5)23=−∞ \lim_{x \to -\infty} x - 3(x - 5)^{\frac{2}{3}} = -\infty  

Por lo tanto, ff no tiene asíntotas horizontales. 3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=1−3⋅23(x−5)−13 f'(x) = 1 - 3\cdot\frac{2}{3}(x - 5)^{-\frac{1}{3}}  

f′(x)=1−2(x−5)−13 f'(x) = 1 - 2(x - 5)^{-\frac{1}{3}}

Y ojo, atenti acá!

f′(x)=1−2x−53f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x-5}}

El dominio de f′(x)f'(x) excluye a x=5x=5, porque el denominador no puede ser cero. Pero x=5x=5 si estaba en el dominio de ff, por lo tanto, es un punto crítico.
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:
1−2x−53=0 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x-5}} = 0

2x−53=1 \frac{2}{\sqrt[3]{x-5}} = 1

2= x−53 2 = \sqrt[3]{x-5}

Elevamos al cubo ambos miembros:

8=x−58 = x-5

x=13x = 13

Por lo tanto, en x=13x = 13 tenemos otro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
a) x<5x < 5

b) 5<x<135 < x < 13

c) x>13x > 13 6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<5x < 5 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para 5<x<135 < x < 13, f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. c) Para x>13x > 13 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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