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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
p) $f(x)=x-3(x-5)^{\frac{2}{3}}$
p) $f(x)=x-3(x-5)^{\frac{2}{3}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
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Lo primero que quiero que veas es que:
$(x-5)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-5)^2} $
y como es una raíz cúbica, no tenemos ninguna restricción. Por lo tanto, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x - 3(x - 5)^{\frac{2}{3}} $
Ojo acá, tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito" (hace despacito las cuentas, regla de signos). Para poder salvarla, fijate que pasa si saco factor común $x$:
$ \lim_{x \to +\infty} x \left(1 - \frac{3(x - 5)^{\frac{2}{3}}}{x} \right) $
Y ahí adentro del paréntesis nos quedó esta expresión:
$\frac{3(x - 5)^{\frac{2}{3}}}{x}$
donde tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Aplicamos L'Hopital en un cálculo auxiliar para ver a dónde tiende:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3 \cdot \frac{2}{3}(x - 5)^{-\frac{1}{3}}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt[3]{x - 5}} = 0 $
Por lo tanto, volvemos a nuestro límite:
$ \lim_{x \to +\infty} x \left(1 - \frac{3(x - 5)^{\frac{2}{3}}}{x} \right) = +\infty $
Ahora probá de hacer lo mismo con el límite a $-\infty$ (donde pasa exactamente lo mismo) y llegamos a que...
$ \lim_{x \to -\infty} x - 3(x - 5)^{\frac{2}{3}} = -\infty $
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntotas horizontales.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = 1 - 3\cdot\frac{2}{3}(x - 5)^{-\frac{1}{3}} $
$ f'(x) = 1 - 2(x - 5)^{-\frac{1}{3}} $
Y ojo, atenti acá!
$f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x-5}} $
El dominio de $f'(x)$ excluye a $x=5$, porque el denominador no puede ser cero. Pero $x=5$ si estaba en el dominio de $f$, por lo tanto, es un punto crítico.
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x-5}} = 0$
$ \frac{2}{\sqrt[3]{x-5}} = 1$
$ 2 = \sqrt[3]{x-5} $
Elevamos al cubo ambos miembros:
$8 = x-5$
$x = 13$
Por lo tanto, en $x = 13$ tenemos otro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 5$
b) $5 < x < 13$
c) $x > 13$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 5$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $5 < x < 13$,
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
c) Para $x > 13$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: