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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
n) $f(x)=\left(1+x+2 x^{2}\right) e^{x}$
n) $f(x)=\left(1+x+2 x^{2}\right) e^{x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ f'(x) = (1 + 4x)e^x + (1 + x + 2x^2)e^x$
$ f'(x) = (2 + 5x + 2x^2) e^x$
Reportar problema
$ \lim_{x \to +\infty} (1 + x + 2x^2)e^x = +\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} (1 + x + 2x^2)e^x $
Ojo porque acá de nuevo nos aparece una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente:
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + x + 2x^2}{e^{-x}} $
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 4x}{-e^{-x}} $
Aplicamos L'Hopital de nuevo:
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{e^{-x}} = 0$
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en $y = 0$ para $x \to -\infty$.
3) Calculamos $f'(x)$:
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ (2 + 5x + 2x^2)e^x = 0 $
Como la exponencial nunca es cero, los puntos críticos van a salir de plantear:
$ 2 + 5x + 2x^2 = 0 $
Hacemos la resolvente y vemos que las soluciones son $x = -2$ y $x= -\frac{1}{2}$
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < -2$
b) $ -2 < x < -\frac{1}{2}$
c) $ x > -\frac{1}{2} $
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < -2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $ -2 < x < -\frac{1}{2}$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
c) Para $x > -\frac{1}{2}$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: