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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
o) $f(x)=\sqrt{x-2}-5 \ln (x-2)$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de $f(x)$ Teniendo en cuenta las restricciones que presenta, el dominio va de $(2,+\infty)$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Veamos el comportamiento cuando $x$ tiende a $2$ por derecha, para ver si tenemos o no asíntota vertical:

$\lim_{x \to 2^+} \sqrt{x-2}-5 \ln (x-2) = +\infty$

No te olvides que $\ln(0^+) = -\infty$ y después regla de signos!

Por lo tanto, en $x = 2$ tenemos una asíntota vertical.
  - Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-2}-5 \ln (x-2) $

Ojo acá, regla de signos y esto te queda un "infinito menos infinito". Sacamos factor común algo para forzar a que nos aparezca un cociente que sepamos resolver por L'Hopital. Por ejemplo, si sacás factor común $\ln(x-2)$ te queda:

$\lim_{x \to +\infty} \ln (x-2) \cdot ( \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)} - 5) $

Ahora adentro del paréntesis nos quedó un cociente con una indeterminación infinito sobre infinito, esta de acá:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)}$

Aplicamos L'Hopital:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{\frac{1}{x-2}} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot (x-2) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x-2} = + \infty$

Entonces, volviendo a nuestro límite:

$\lim_{x \to +\infty} \ln (x-2) \cdot ( \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)} - 5) = +\infty$

Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal.
  3) Calculamos $f'(x)$:

$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{5}{x-2} $  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{5}{x-2}  = 0$

Paso uno de los términos para el otro lado:

$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{5}{x-2} $ 

Paso multiplicando el $x-2$ del denominador:

$\frac{x-2}{2\sqrt{x-2}} = 5 $ 

Usando reglas de potencias:

$\frac{\sqrt{x-2}}{2} = 5 $ 

$\sqrt{x-2} = 10$

Elevo al cuadrado ambos miembros

$x-2 = 100 $ (sólo me estoy quedando con la solución positiva, porque $x-2$ es mayor a cero siempre)

$x = 102$

Por lo tanto $x=102$ es nuestro punto crítico
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $2 < x < 102$ b) $x > 102$  6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $2 < x < 102$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. b) Para $x > 102$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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Avatar Benjamin 21 de mayo 16:15
como el 1/2*(raiz de x-2)  *  (x-2) te termino quedando asi como lo pusiste al final?
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 20:04
@Benjamin Te referis a esta parte?

$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{5}{x-2} $ 

Paso multiplicando el $x-2$ del denominador:

$\frac{x-2}{2\sqrt{x-2}} = 5 $ 

Y acá uso reglas de potencias, porque tenés así:

$\frac{(x-2)^1}{2\cdot (x-2)^{1/2}} = 5 $ 

Se restan los exponentes y te queda $(x-2)^{1/2}$, por eso en el siguiente paso ya tenés:

$\frac{\sqrt{x-2}}{2} = 5 $ 

Avatar Benjamin 22 de mayo 08:32
ee nono, es en la parte de asintotas  horizontales, pero creo que tambien es la misma logica, porque te queda el x-2, sobre 2*(raiz de x-2).

A todo eso lo pensas como resta de exponentes, 1-1/2= 1/2.
Entonces quedaria raiz de x-2, sobre 2, y al 2 no se como lo pasas arriba igual, creo que esa seria otra duda. Espero que se entienda
Avatar Benjamin 21 de mayo 15:59
una consulta, la raiz de x-2, la x tiene que ser mayor o igual a 2, pero en el ln(x-2), aca el x tiene que ser mayor estricto que 2. Entonces, el dominio de el ln tiene mas peso que el de la raiz? o como seria ahi
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 20:00
@Benjamin Cuando es así sumas las restricciones... O sea, la raíz no tendría problema que le metas un $x=2$, pero adentro del logaritmo no lo podés poner, entonces por eso el dominio si o si tiene que ser $(2, +\infty)$

Vos tenés que asegurarte que el dominio de la función incluya a todos los $x$ que no tengan problemas en ninguna parte de la función. 
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:24
ahhh bien bien
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