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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
j) $f(x)=x \sqrt{4-x}$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es $(-\infty, 4]$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: No hay candidatos a asíntota vertical (fijate que en $x=4$ tenemos corchete, está incluido dentro del dominio! por eso no es candidato, a diferencia de lo que nos ha pasado en otros items de este mismo ejercicio)
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $- \infty$

$\lim_{x \to -\infty} x \sqrt{4-x} = -\infty$

Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:

\( f'(x) = \sqrt{4 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} \)

\( f'(x) = \sqrt{4 - x} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ \sqrt{4 - x} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} = 0$

$ \sqrt{4 - x} = \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} $

$ 4 - x = \frac{x}{2}$

$8 - 2x = x$

$8 = 3x$

$ x = \frac{8}{3}$

Por lo tanto, $ x = \frac{8}{3}$ es punto crítico. 
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) \( x < \frac{8}{3} \) b) \( \frac{8}{3} < x \leq 4 \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:

a) Para $x < \frac{8}{3}$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $\frac{8}{3} < x \leq 4$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: 

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Avatar Benjamin 21 de mayo 14:50
el raiz de 4-x cuando lo pasas a la izquierda, como haces para que se le vaya la raiz
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 19:50
@Benjamin Porque fijate que pasé multiplicando el $\sqrt{4-x}$ del denominador, entonces quedó:

$\sqrt{4-x} \cdot \sqrt{4-x} = (\sqrt{4-x})^2 = 4 - x$
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:16
ahh okok
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