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@Benjamin Todo podría pasar, pero honestamente en los parciales de los últimos años jamás vi que aparezcan funciones partidas en el ejercicio de estudio de funciones!
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elijo creer entonces jaja
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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
s) $f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { si } x \leq 1 \\ (x-2)^{2} & \text { si } x>1\end{cases}$
s) $f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { si } x \leq 1 \\ (x-2)^{2} & \text { si } x>1\end{cases}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. A diferencia de los items anteriores, el único cuidado que vamos a tener que tener es que se trata de una función partida.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$. Ojo porque cambia la expresión que uso en cada caso:
Reportar problema
$\lim_{x \to +\infty} (x-2)^2 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntotas horizontales
3) Calculamos $f'(x)$:
Bueno, atenti acá. Para cualquier $x$ mayor estricto que $1$ o menor estricto que $1$, puedo usar reglas de derivación. Me quedaría así:
$f'(x)= \begin{cases}2x & \text { si } x < 1 \\ 2(x-2) & \text { si } x>1\end{cases}$
Para el caso particular $x=1$ tenemos que derivar usando el cociente incremental, igual que venimos haciendo desde la guía pasada. Si venis siguiendo esos ejercicios y entendiéndolos, este queda muy fácil, nada que ver a los choclazos que ya resolvimos. Vas a ver que efectivamente $f$ no es derivable en $x=1$ (el límite por izquierda te va a dar $2$ y el límite por derecha $-2$, como no coinciden, el límite no existe y $f$ no es derivable)
Como $f'(x)$ no está definida en $x=1$, pero este si pertenecía al dominio de $f$, entonces $x=1$ es punto crítico.
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar si hay otros puntos críticos. Tengo que evaluar cada sector por separado:
Para $x < 1$
$2x = 0$
Por lo tanto, tenemos un punto crítico en $x=0$
Para $x > 1$
$2(x-2) = 0$
Por lo tanto, en esta parte tenemos otro punto crítico en $x= 2$
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $0 < x < 1$
c) $1 < x < 2$
d) $x > 2$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $0 < x < 1$,
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $1 < x < 2$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $x > 2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
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Flor
PROFE
21 de mayo 20:25
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Benjamin
22 de mayo 8:20
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