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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
s) f(x)={x2 si x≤1(x−2)2 si x>1f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { si } x \leq 1 \\ (x-2)^{2} & \text { si } x>1\end{cases}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. A diferencia de los items anteriores, el único cuidado que vamos a tener que tener es que se trata de una función partida. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) El dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty. Ojo porque cambia la expresión que uso en cada caso:

lim⁡x→+∞(x−2)2=+∞\lim_{x \to +\infty} (x-2)^2 = +\infty

lim⁡x→−∞x2=+∞\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty 
Por lo tanto, ff no tiene asíntotas horizontales 3) Calculamos f′(x)f'(x):

Bueno, atenti acá. Para cualquier xx mayor estricto que 11 o menor estricto que 11, puedo usar reglas de derivación. Me quedaría así:

f′(x)={2x si x<12(x−2) si x>1f'(x)= \begin{cases}2x & \text { si } x < 1 \\ 2(x-2) & \text { si } x>1\end{cases} 

Para el caso particular x=1x=1 tenemos que derivar usando el cociente incremental, igual que venimos haciendo desde la guía pasada. Si venis siguiendo esos ejercicios y entendiéndolos, este queda muy fácil, nada que ver a los choclazos que ya resolvimos. Vas a ver que efectivamente ff no es derivable en x=1x=1 (el límite por izquierda te va a dar 22 y el límite por derecha −2-2, como no coinciden, el límite no existe y ff no es derivable)

Como f′(x)f'(x) no está definida en x=1x=1, pero este si pertenecía al dominio de ff, entonces x=1x=1 es punto crítico.  4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar si hay otros puntos críticos. Tengo que evaluar cada sector por separado:

Para x<1x < 1

2x=02x = 0

Por lo tanto, tenemos un punto crítico en x=0x=0

Para x>1x > 1

2(x−2)=02(x-2) = 0

Por lo tanto, en esta parte tenemos otro punto crítico en x=2x= 2 5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0x < 0

b) 0<x<10 < x < 1

c) 1<x<21 < x < 2

d) x>2x > 2 6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. b) Para 0<x<10 < x < 1, f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. c) Para 1<x<21 < x < 2 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente.

d) Para x>2x > 2
f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-20%2009:54:28_7571599.png
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ExaComunidad
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Luli
26 de febrero 10:22
Flor, por qué cuando derivamos la función, las x pasan a ser mayor/menor estricto? Porque antes había un x menor  o igual a 1 y ahora no! Gracias :D
0 Responder
Flor
PROFE
27 de febrero 10:04
@Luli Hola Luli! Muy buena pregunta! En este caso es porque f′(1)f'(1) no existe, ff no es derivable en x=1x=1... pero todos esos pasos me lo saltee eh jaja fijate que lo escribí en una oración y se los dejé para que lo hagan ustedes como veníamos haciendo en los ejercicios de estudiar derivabilidad, porque sino iba a quedar eterno jaja

Vos tenés ff una función partida, para saber cuanto vale juuuusto f′(1)f'(1) hay que calcularlo usando el cociente incremental... haciendo esos pasos deberías llegar a que ff no es derivable en x=1x=1

Entonces f′(x)f'(x) nos quedó escrita como una función partida que no está definida en x = 1. En cambio si ff hubiera sido derivable en x=1x=1, ahí si al definir f′(x)f'(x) tendríamos que haber agregado cuánto valia en x=1x=1
1 Responder
Luli
3 de marzo 8:16
@Flor perfecto!!
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 18:00
pueden aparecer funciones partidas en parciales?
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 20:25
@Benjamin Todo podría pasar, pero honestamente en los parciales de los últimos años jamás vi que aparezcan funciones partidas en el ejercicio de estudio de funciones! 
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:20
elijo creer entonces jaja
0 Responder