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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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9. Pruebe las siguientes desigualdades
a) sin⁡x<x\sin x<x si x>0x>0

Respuesta

Para probar esta desigualdad

sin⁡x<x\sin x<x si x>0x>0

podemos plantear

sin⁡(x)−x<0\sin(x) - x < 0

definirnos la función f(x)=sin⁡(x)−xf(x) = \sin(x) - x, hacer un estudio completo y ver que siempre es menor a 00 para x>0x > 0
1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞sin⁡(x)−x=−∞\lim_{x \to +\infty} \sin(x) - x = -\infty 

lim⁡x→−∞sin⁡(x)−x=+∞\lim_{x \to -\infty} \sin(x) - x= +\infty  
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=cos⁡(x)−1f'(x) = \cos(x) - 1 4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

cos⁡(x)−1=0\cos(x) - 1 = 0 

cos⁡(x)=1\cos(x) = 1

Bueno, tenemos infinitos puntos críticos, no? Así que se imaginarán que tenemos que pensar una manera más conveniente que ir evaluando el signo de f′(x)f'(x) en cada intervalo para ver si es positiva o negativa jeje... 

Miremos con atención la expresión de f′(x)f'(x)

f′(x)=cos⁡(x)−1f'(x) = \cos(x) - 1

Sabemos que cos⁡(x)\cos(x) oscila entre −1-1 y 11. Por lo tanto, justo cuando cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 ff va a valer cero y vamos a estar en un máximo o mínimo, pero para cualquier otro xx, cos⁡(x)\cos(x) nunca va a valer más que 11. Entonces... ¿estás viendo que f′(x)f'(x) va a ser siempre negativa? Por lo tanto, ff es monótona decreciente. 

El gráfico es una cosa así:

2024-04-20%2010:38:31_5675939.png

Mirando el gráfico, vemos que efectivamente se cumple que para todo x>0x > 0, sin⁡(x)−x<0\sin(x) - x < 0. Y con esto probamos lo que nos pedía el enunciado :)
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Fernando
23 de mayo 9:59
Hola flor disculpa pero si hay una restriccion (x > 0) lo cual al verificar que ( sin(x) - x < 0) la funcion => sin(x) - x nos daria solo negativa ,tampoco nos daria f(x) = 0 ya que se respeta la restriccion (x > 0) ,al final hize el grafico en geogebra y me resulto asi .Osea que al final tiene 0 soluciones.2024-05-23%2009:59:14_2563842.png
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 11:36
@Fernando Hola Fer! Esperá, vamos a recapitular juntos qué nos pide el enunciado: Nosotros queremos probar que

sin⁡x<x\sin x<x si x>0x>0

Entonces para eso, si despejamos, nos queda esto:

sin⁡(x)−x<0\sin(x) - x < 0

Ahí definimos la función f(x)= sin⁡(x)−xf(x) = \sin(x) - x. Queremos ver que, para cualquier xx positivo, se cumple que

f(x)<0f(x) < 0

O sea, no importa el xx positivo que yo le meta, la función me va a devolver un valor negativo. Y eso es exactamente lo que está ocurriendo acá en nuestros gráficos.

Fijate que los dos son los mismos, sólo que yo lo puse completo (aunque sabiendo que sólo miramos los xx mayores a 00) y vos lo pusiste ya con el dominio restringido. Pero en ambos vos chequeas que, para todo xx mayor a 00, f(x)f(x) es negativo. Y por como definimos ff, si probamos eso, ya entonces quedó probado lo del enunciado.

Se entiende mejor?
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 11:37
@Fernando Asi que f(x)<0f(x) < 0 se cumple para todo xx mayor a 00, y, por lo tanto,

sin⁡x<x\sin x<x 

también se cumple para todo x>0x>0
0 Responder