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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

9. Pruebe las siguientes desigualdades
b) $e^{x} \geq 1+x$

Respuesta

Para probar esta desigualdad

$e^{x} \geq 1+x$

podemos plantear

$e^{x} - 1 - x \geq 0$

definirnos la función $f(x) = e^{x} - 1 - x$, hacer un estudio completo y ver que siempre es mayor o igual a cero. 

Arrancamos con el estudio:
1) Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$  
$\lim_{x \to +\infty} e^{x} - 1 - x $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Saco factor común $e^x$

$\lim_{x \to +\infty} e^{x} (1 - \frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x}) $

Y ahora fijate que $\frac{x}{e^x}$ es una indeterminación "infinito sobre infinito" que se justifica enseguida que tiende a $0$ usando L'Hopital. Por lo tanto,

$\lim_{x \to +\infty} e^{x} (1 - \frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x}) = +\infty$

Ahora calculamos el límite en $-\infty$, acá no hay ninguna indeterminación por suerte:

$\lim_{x \to -\infty}  e^{x} - 1 - x= +\infty$  
  3) Calculamos $f'(x)$: $f'(x) = e^x - 1$
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$e^x - 1 = 0$

$e^x = 1$

$x = 0$
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $x < 0$

b) $x > 0$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < 0$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. b) Para $x > 0$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-20%2010:46:04_6766747.png

Mirando el gráfico, vemos que efectivamente $f(x)$ es siempre $\geq 0$. Y así la desigualdad que nos planteaba el enunciado queda probada :)
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