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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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10. Sea f(x)=24ex3ex+1f(x)=\frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}. Halle la imagen de ff.

Respuesta

Como vimos en clase, para responder a la pregunta de la imagen no nos queda otra opción que hacer un estudio de función completo. Recién cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder ver cuál es la imagen de ff.
1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es todo R\mathbb{R} (fijate que ese denominador nunca vale cero!)
2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞24ex3ex+1\lim_{x \to +\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}

Aplicamos L'Hopital

lim⁡x→+∞24ex3ex=243=8\lim_{x \to +\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}} = \frac{24}{3} = 8

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=8y = 8 en +∞+\infty. Vamos ahora con el límite en −∞-\infty

lim⁡x→−∞24ex3ex+1=0\lim_{x \to -\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1} = 0

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=0y = 0 en −∞-\infty 
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=(24ex)(3ex+1)−(24ex)(3ex)(3ex+1)2 f'(x) = \frac{(24e^x)(3e^x + 1) - (24e^x)(3e^x)}{(3e^x + 1)^2}

Reacomodamos un poco:

f′(x)=72e2x+24ex−72e2x(3ex+1)2 f'(x) = \frac{72e^{2x} + 24e^x - 72e^{2x}}{(3e^x + 1)^2} f′(x)=24ex(3ex+1)2 f'(x) = \frac{24e^x}{(3e^x + 1)^2}   4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

24ex(3ex+1)2=0\frac{24e^x}{(3e^x + 1)^2} = 0

24ex=024e^x = 0

Esta expresión nunca vale 00, por lo tanto ff no tiene puntos críticos. Y algo más, mirando la expresión de f′(x)f'(x) vemos que es siempre positiva. Por lo tanto ff es siempre creciente. 

Juntando todo, vamos armando nuestro gráfico:

2024-04-20%2010:58:12_3265430.png

Entonces, viendo el gráfico que obtuvimos, la imagen de ff es (0,8)(0, 8)
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ian
22 de mayo 15:54
porque pasa por 6? no entendí eso, el resto muy claro
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Flor
PROFE
22 de mayo 17:45
@ian
Hola Ian! En realidad vos en el parcial no es necesario que, por ejemplo, aclares que la función corta al eje yy justo en el 66

O sea, con la información que fuimos juntando, ya con darte cuenta que tiene una asíntota en y=0y = 0 en −∞-\infty y en y=8y = 8 en +∞+\infty, sumado a que es siempre creciente, hacés un gráfico aproximado y ahi ya ves que la imagen es (0,8)(0,8) y podés responder a la pregunta. Acá justo GeoGebra nos marca que corta al eje yy en el 66, si quisieras te podrías dar cuenta de eso evaluando la función en x=0x=0 (fijate que justo ese es el punto de coordenada x=0x=0 y f(0)=6f(0) = 6). Pero repito, cuando te armas el gráfico para responder a la pregunta de la imagen no es necesario saber exactamente dónde cortaba el eje y en este caso
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