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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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16. Encuentre todos los valores de k∈Rk \in \mathbb{R} para los cuales la ecuación e53xx5=k\frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}}=k no tiene solución.

Respuesta

Para responder esta pregunta, vamos a definir la función f(x)=e53xx5f(x) = \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} y hacer un estudio de función completo.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) El dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} - \{0\} 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: 

lim⁡x→0+e53xx5=+∞ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = +\infty lim⁡x→0−e53xx5=−∞ \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = -\infty Por lo tanto, x=0 x=0 es asíntota vertical de f f . - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞e53xx5 \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicando L'Hopital varias veces vas a llegar a que

lim⁡x→+∞e53xx5=+∞ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = +\infty

Tomamos ahora límite en −∞-\infty, acá no hay ninguna indeterminación y sale enseguida:
lim⁡x→−∞e53xx5=0 \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = 0 Por lo tanto, f f tiene una asíntota horizontal en y=0 y = 0 en −∞ -\infty .
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=53e53x⋅x5−e53x⋅5x4x10 f'(x) = \frac{\frac{5}{3}e^{\frac{5}{3} x} \cdot x^{5} - e^{\frac{5}{3} x} \cdot 5x^{4}}{x^{10}} Reacomodamos un poco, ir sacar factor común nos va a venir bien para el próximo paso: f′(x)=(53x−5)x4e53xx10 f'(x) = \frac{\left(\frac{5}{3}x - 5\right)x^{4}e^{\frac{5}{3} x}}{x^{10}}
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

(53x−5)x4e53xx10=0 \frac{\left(\frac{5}{3}x - 5\right)x^{4}e^{\frac{5}{3} x}}{x^{10}} = 0 La exponencial nunca es cero y xx tampoco (acordate que está fuera del dominio!), los puntos críticos salen de plantear 53x−5=0 \frac{5}{3}x - 5 = 0 Esto ocurre únicamente si x=3 x = 3

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−∞,0) (-\infty, 0) b) (0,3) (0, 3) c) (3,+∞) (3, +\infty)
6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para (−∞,0) (-\infty, 0) f′(x)<0 f'(x) < 0 . En este intervalo, f f es decreciente. b) Para (0,3) (0, 3) f′(x)<0 f'(x) < 0 . En este intervalo, f f es decreciente. c) Para (3,+∞) (3, +\infty) f′(x)>0 f'(x) > 0 . En este intervalo, f f es creciente.

 Con todos los datos que tenemos ya podemos hacer el gráfico aproximado de ff. Yo acá lo hice el GeoGebra:

2024-04-20%2016:21:21_4146493.png

Ahora, mirando el gráfico respondamos a la pregunta del enunciado. Si kk está en el intervalo [0,f(3))[0, f(3)) no hay solución (para esos valores en yy no tengo función). 

Pregunta: ¿Te das cuenta por qué al 00 le puse corchete?
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Gael
23 de mayo 22:32
Es porque si no tuviese corchete si habría una solucion?
0 Responder
Flor
PROFE
24 de mayo 20:49
@Gael Viene por ahi! Pensalo así: Si nosotros incluimos al 00 en el intervalo (como en este caso que le pusimos corchete) es porque estamos diciendo que no hay solución, es decir, que si me paró en y=0y = 0 y trazo esa recta horizontal, no me voy a encontrar con función. Y es exactamente lo que pasa, no? Porque justo ahi tenemos nuestra asíntota horizontal :D 

Si le hubiera puesto paréntesis, estaría diciendo que si hay solución, como decías vos. Pero eso es mentira, porque justo en y=0y = 0 tenemos la asíntota horizontal y ahi no hay función ;)
0 Responder