1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es $[5, +\infty)$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Esta función no tiene candidatos a asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+ \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-5} \cdot e^{-4(x-5)^{2}+1} $ Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente: $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-5}}{e^{4(x-5)^{2}-1}} $

Ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital: 

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-5}}}{e^{4(x-5)^2 - 1} \cdot 8(x-5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{16(x-5)^{\frac{3}{2}} e^{4(x-5)^2 - 1}} = 0 $ 

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $+\infty$. 

3) Calculamos $f'(x)$:

 \( f'(x) = \frac{e^{-4(x-5)^2 + 1}}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)\sqrt{x-5}e^{-4(x-5)^2 + 1} \)  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$\frac{e^{-4(x-5)^2 + 1}}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)\sqrt{x-5} \cdot e^{-4(x-5)^2 + 1} = 0$

Sacamos factor común la exponencial

\( f'(x) = e^{-4(x-5)^2 + 1} \left( \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)^{\frac{3}{2}} \right) \) Como la exponencial nunca es cero, para encontrar los puntos críticos igualamos a cero el término entre paréntesis: \( \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)^{\frac{3}{2}} = 0 \)

$ \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = 8(x-5)^{\frac{3}{2}} $

$ 1 = 8(x-5)^{\frac{3}{2}} \cdot  2\sqrt{x-5} $

$ 1 = 16(x-5)^2$

Atenti como voy a seguir acá:

\( (x-5)^2 = \frac{1}{16} \) \( |x-5| = \frac{1}{4} \) De ahí, obtenemos dos posibles puntos críticos: \( x = 5 + \frac{1}{4} = \frac{21}{4} \) \( x = 5 - \frac{1}{4} = \frac{19}{4} \) Sin embargo, recordemos que el dominio de \( f(x) \) es \( x \geq 5 \), por lo que el punto \( x = \frac{19}{4} \) no está en el dominio. Entonces, el único punto crítico en el dominio es \( x = \frac{21}{4} \).

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $5 < x < \frac{21}{4}$

b) $x > \frac{21}{4}$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $5 < x < \frac{21}{4}$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $x > \frac{21}{4}$

$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. 

Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra, y de paso ya marco $y = 1$ para ir respondiendo a la pregunta del enunciado (Vos en tu hoja deberías haber buscado también cuanto vale $f(\frac{21}{4})$ para ver dónde graficabas ese punto máximo, como vimos en las clases de estudio de funciones)

Por lo tanto, mirando el gráfico vemos que la ecuación $\sqrt{x-5} e^{-4(x-5)^{2}+1}=1$ tiene dos soluciones.