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Primero calculamos el dominio de la función:
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@Andrea Hola Andre, nono todo una solita. Pones distintos valores de x, y calculas los valores de y, que sería básicamente reemplazar en toooda la función los valores de x que vayas eligiendo.
Por ejemplo:
$x = 1$, $y = f(1) = \frac{1-4}{6+2.1} = \frac{-3}{8}$, entonces el punto es $(1, \frac{-3}{8})$ y ahí la vas armando con otros valores de x.
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2.
Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
a) $f(x)=\frac{x-4}{6+2 x}$
a) $f(x)=\frac{x-4}{6+2 x}$
Respuesta
Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué.
Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$
$f(x)=\frac{x-4}{6+2x}$
Para encontrar el dominio, debemos asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$6+2x\ne0 \rightarrow 2x\ne-6 \rightarrow x\ne-3$
Por lo tanto, el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{-3\}$, o lo que es lo mismo $(- \infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.
Para saber si -3 pertenece a la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla.
💡 Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para $y=-3$.
Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería evaluar si existe algun valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezaca al dominio de la función:
Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:
$\frac{x-4}{6+2x} = -3$
$x-4 = -3(6+2x)$
$x-4 = -18 - 6x$
$x+6x = -18 +4$
$7x = -14$
$x=\frac{-14}{7}$
$x = -2$
El valor de $x=-2$ obtenido pertenece al dominio de la función (es decir, está dentro del intervalo \((- \infty, -3) \cup (-3, +\infty)\).
Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función. $-3 \in \operatorname{Im} f$
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Andrea
22 de octubre 12:11
Hola profe, me podrías explicar cómo hago la tabla de valores en este caso? Tendría que hacer para el numerador y para el denominador también?
Julieta
PROFE
23 de octubre 13:44
Por ejemplo:
$x = 1$, $y = f(1) = \frac{1-4}{6+2.1} = \frac{-3}{8}$, entonces el punto es $(1, \frac{-3}{8})$ y ahí la vas armando con otros valores de x.
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