Un poco tarde pero acá va la respuesta:

El dominio e imagen de la inversa dependen del dominio e imagen de la función original. Es esta última la que define todo. Si hay una restricción en el dominio de la función original, la imagen de la inversa también va a estar restringida. 

Nosotros calculamos que el dominio de la inversa: $f^{-1} = x^2 +1$, y nos da que  $Domf^{-1} = [0, +\infty)$. Pero ¿por qué no puede ser todos los reales? Si esa función inversa es una cuadrática y no tiene una restricción de dominio? 

Bueno, el tema es que si mirás la función $x^2+1$ de forma aislada, es cierto que su dominio serían todos los reales, pero acá lo que encontramos no es una función cuadrática "genérica". Es específicamente la inversa de $f(x) = \sqrt{x-1}$. Y tiene que respetar la restricción de ésta. 

Eso es lo que permite que sea la inversa, justamente esta "restricción en la imagen de la inversa" (que no es otra cosa que la restricción de dominio de la función original) es lo que hace que en ese intervalo la función sea sobreyectiva y tenga su inversa (esto tranqui, no tenés que saberlo jeje). 

El ejercicio busca precisamente que notes esto: el dominio de la función inversa se determina por la imagen de la función original, no solo por la forma algebraica final de la inversa. Por eso la gráfica, pero voy a agregarlo así no quedan dudas. Muy buena tu observación Agus!!

El enunciado dice que la función va hacia $\mathbb{R}$, pero eso no significa que la imagen (los valores que efectivamente toma) sea todo $\mathbb{R}$. En realidad, como $f(x) = \sqrt{x - 1}$, solo puede dar resultados mayores o iguales a 0, ya que no existen raíces cuadradas reales de números negativos.