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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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1. Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de ff. Hacer un gráfico de
a) f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2}

Respuesta

Bienvenido/a a las funciones homográficas. Vimos que son aquellas donde tenemos un cociente (división) de dos polinomios de grado 1 (funciones lineales). Se presentan en dos estructuras típicas, por lo que es fácil reconocerlas. Pero aunque no supieras reconocerlas podés resolver este ejercicio con las herramientas que ya adquiriste a lo largo del curso y de esta guía. Así que nada de excusas.
Algunas cositas de utilidad sobre las funciones homográficas (los otros tips están en el curso online): 
Dom f:R−{AV}Dom\ f: \mathbb{R} -\{AV\}   
Im f:R−{AH}Im\ f: \mathbb{R} -\{AH\}  


¡Ahora sí, empecemos!
f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2}

Dominio:
Para encontrar el dominio, debemos identificar los valores de xx para los que la función no está definida, es decir, aquellos que anulan el denominador:

x−2≠0x-2\neq0 x≠2x\neq2

• Dom f:R−{2}Dom\ f: \mathbb{R} -\{2\}


Asíntotas Horizontales: Calculamos el límite de f(x)f(x) cuando xx tiende al infinito para determinar si hay una asíntota horizontal:

lim⁡x→±∞1x−2=0\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{1}{x-2} = 0

• Hay A.H. en y=0y=0 


Imagen:  Dado que hay una A.H. en y=0y=0:

• Im f:R−{0}Im\ f: \mathbb{R} -\{0\}


Asíntotas Verticales:  Calculamos el límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a los valores restringidos del dominio para determinar si hay alguna asíntota horizontal: 
lim⁡x→21x−2=∞\lim_{x\rightarrow2} \frac{1}{x-2} = \infty

• Hay A.V. en x=2x=2


Conjunto de ceros:  Para encontrar los ceros de la función, resolvemos f(x)=0f(x)=0:  

f(x)=0f(x)=0 1x−2=0→1=0(x−2)→1=0\frac{1}{x-2}=0 \rightarrow 1=0(x-2) \rightarrow 1=0 ¡Abs! No existen ceros  

• C0C^0 = Ø 


Conjuntos de positividad y negatividad: Es necesario hacer el análisis de signos mediante Bolzano, una vez conocidos el DomfDom f y el C0C^0.

• C+=(2;+∞)C^{+}=(2 ; +\infty) • C−=(−∞;2)C^{-}=(-\infty ; 2)



TIP: Para graficar primero marcá las asíntotas y el conjunto de ceros. Luego evaluá los límites laterales y marcá a donde tiende la función. ¡Y listo! Si tenés dudas sobre ésto mirá el video de funciones homográficas.

• Límites Laterales lim⁡x→2−1x−2=−∞\lim_{x\rightarrow2^{-}} \frac{1}{x-2} = -\infty lim⁡x→2+1x−2=+∞\lim_{x\rightarrow2^{+}} \frac{1}{x-2} = +\infty


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Mallo
16 de septiembre 13:56
hola profe, tengo una duda, en funciones homograficas segun mi guia todavia no vimos limites, en ese caso como sacaria la imagen? a sobre c? 
0 Responder
Julieta
PROFE
18 de septiembre 18:07
@Mallo Hola, qué extraño que les hayan puesto homográficas antes que límites, porque suelen tomar eso y quieren que lo demuestren con límites. Pero en principio sí, esa sería la forma, tal como lo vimos en el video de funciones homográficas. 
0 Responder
Emilia
13 de septiembre 12:01
Hola profe, en clase nos explicaron que el intervalo de positividad y negatividad es distinto del conjunto que esta en la resolucion, y en el punto pide el intervalo, eso esta ok?
0 Responder
Julieta
PROFE
13 de septiembre 18:49
@Emilia Hola Emi, ¿será intervalo de crecimiento y de decrecimiento tal vez? 
0 Responder
Emilia
14 de octubre 19:54
@Julieta siii eso, perdon
0 Responder
Abigail
9 de septiembre 22:25
hola profe, para hacer conjunto de ceros solo igualo a 0 el denominador, pero no me doy cuenta en que momento debo igualar la funcion en 0 y resolver solo una parte, como en el video anterior. me gustaria entender mejor
0 Responder
Julieta
PROFE
13 de septiembre 18:48
@Abigail Hola Abi, SIEMPRE que tengas una división y la iguales a cero, el numerador va a ser 0 (nunca el denominador puede ser cero en matemáticas, nunca jamás). Y de igualar el numerador a cero vas a poder despejar x y obtener el conjunto de ceros.
0 Responder
tao
12 de mayo 22:14
hola profe una consulta, al principio decis que dominio es igual a todos los reales - av pero despues cuando calculamos dominio es 2, no -2 como lo es originalmente la asintota vertical
0 Responder
Julieta
PROFE
15 de mayo 13:30
@tao Hola Tao, la AV es x=2
0 Responder
Daniela
12 de mayo 12:02
hola juli no termino de entender porque hay AH en y=1 es por el numerador??
0 Responder
Julieta
PROFE
15 de mayo 13:29
@Daniela Hola, me había quedado de otro ejercicio jiji, pero es 0
0 Responder