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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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2. En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de ff. Graficar.
b) f(x)=e−x−2f(x)=e^{-x}-2

Respuesta

En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:
• Domf=ℜDomf= \Re Hallemos los ceros: f(x)=0f(x)=0
e−x−2=0 e^{-x} - 2 = 0

e−x=2 e^{-x} = 2
Aplicamos logaritmo natural de ambos lados:
−x=ln⁡(2) -x = \ln(2)
x=−ln⁡(2) x = -\ln(2)
• C0= {−ln⁡(2)}C^{0} = \{-\ln(2)\} 

Hallemos la imagen: Para encontrar la imagen de f(x) f(x) , vamos a calcular los límites de f(x) f(x) cuando x x tiende a ∞ \infty y −∞ -\infty : Cuando x→∞ x \to \infty :
lim⁡x→∞(e−x−2)=0−2=−2 \lim_{x \to \infty} (e^{-x} - 2) = 0 - 2 = -2
Cuando x→−∞ x \to -\infty :
lim⁡x→−∞(e−x−2)=∞−2=∞ \lim_{x \to -\infty} (e^{-x} - 2) = \infty - 2 = \infty • Imf=(−2,∞)Imf = (-2, \infty) Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: La función es positiva cuando f(x)>0 f(x) > 0 y negativa cuando f(x)<0 f(x) < 0 . Al saber que hay un cero en x=−ln⁡(2) x = -\ln(2) , podemos determinar que la función es positiva para x x menor que −ln⁡(2) -\ln(2) y negativa para x x mayor que −ln⁡(2) -\ln(2) debido a la naturaleza decreciente de la función exponencial e−x e^{-x} . (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras).
• C+=(−∞,−ln⁡(2))C^{+} = (-\infty, -\ln(2))
• C−=(−ln⁡(2),∞)C^{-} = (-\ln(2), \infty)



Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando xx tiende a -infinito y + inifnito:
Como la función e−x e^{-x} tiende a 0 mientras x x tiende al infinito, y la función tiene un desplazamiento vertical de -2 unidades, tenemos: • Hay AH en y=−2y = -2
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Mallo
22 de septiembre 20:27
cuando quiero hacer bolzano, tengo que calcular el ln de 2? o directamente la raiz es 2?
0 Responder
Julieta
PROFE
23 de septiembre 18:15
@Mallo La raíz no tiene nada que ver con el logaritmo natural. Ojo ahí Mallo. Antes de pasar a resolver estos ejercicios te recomiendo mirar los videos sobre este tema.
0 Responder
Mallo
22 de septiembre 20:24
hola profe, no entiendo como cuando x tiende a - infinito da distinto a + infinito,  los resultados no tendrian que ser igual?
me podrias explicar como hiciste el procedimiento y las cuentas para que sea infinito? muchas gracias 
0 Responder
Julieta
PROFE
23 de septiembre 18:13
@Mallo Hola, noo de ninguna manera, en una función exponencial o logarítmica no funciona así. Te recomiendo mirar los videos de funciones exponenciales para que te quede bien claro ese tema. Ahí vemos qué pasa con los límites en cada caso :)
0 Responder
Alicia
14 de mayo 17:52
El límite cuando x tiende a menos ♾️  no es - ♾️?
0 Responder
Julieta
PROFE
16 de mayo 13:02
@Alicia Hola Ali, no, tiende a más infinito. Ojo con los signos, es - (-infinito) en el exponente 
0 Responder
Alicia
14 de mayo 17:47
Favor podrás poner los gráficos?. Gracias 
0 Responder
Julieta
PROFE
16 de mayo 13:02
@Alicia Uy sí! En estos días veo de subirlos, te  animás a subir el tuyo acá?
0 Responder
Estefania
12 de mayo 19:25
Juli! Pregunta por que cuando hallamos la imagen de (e al -× -2), la e al -infinito tiende a ser 0 y finalmente queda 0-2? Por que queda 0? Se da vuelta la fraccion y cualquier numero sobre infinito da cero, esa es la logica? 
Gracias!!!
0 Responder
Maria
15 de mayo 0:42
@Estefania Hola Juli! tengo la misma duda
0 Responder
Julieta
PROFE
16 de mayo 10:49
@Estefania Hola Estefi, exacto! Podés verlo en el video de funciones exponenciales
0 Responder