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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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3. Hallar, en cada caso, el dominio, la imagen, las ecuaciones de las asintotas verticales, los ceros, y los conjuntos de positividad y de negatividad de:
a) f(x)=ln⁡(x−3)f(x)=\ln (x-3)

Respuesta

Hallemos el dominio:

x−3>0x - 3 > 0

x >3x  > 3 • Domf=(3,+∞)Domf= (3, +\infty)



Hallemos la imagen: La función logaritmo natural puede tomar cualquier valor real como salida. Esto significa que la imagen de f(x)f(x) es (−∞,+∞)(-\infty, +\infty), lo que es lo mismo:

• Imf=ℜImf= \Re 



Hallemos la asíntota vertical:

Para las funciones logarítmicas evaluamos el límite en el borde del dominio:

lim⁡x→3+ln⁡(x−3)=−∞\lim_{{x}\to3^+}\ln (x-3) = -\infty
 
• Hay AV en x=3x = 3



Hallemos los ceros:
f(x)=0f(x) = 0 ln⁡(x−3)=0\ln(x - 3) = 0 Aplico ee de ambos lados y nos queda: x−3=e0x - 3 = e^0 x−3=1x - 3 = 1 x=4x = 4
•C0={4}C^0 = \{4\}



Conjuntos de positividad y negatividad:

Podés hacer Bolzano teniendo en cuenta el dominio de la función y el cero. O bien, razonarlo observandos el signo de la función: - Positividad (f(x)>0f(x) > 0): Esto sucede cuando x−3>1x - 3 > 1, lo que ocurre cuando x>4x > 4. Por tanto, el conjunto de positividad es (4,+∞)(4, +\infty). - Negatividad (f(x)<0f(x) < 0): Esto sucede cuando 0<x−3<10 < x - 3 < 1, lo que ocurre cuando 3<x<43 < x < 4. Por tanto, el conjunto de negatividad es (3,4)(3, 4).

•C+=(4,+∞)C^+ = (4, +\infty)
•C−=(3,4)C^- = (3, 4)
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Mallo
23 de septiembre 19:46
profe para hacer bolzano seria de -00 a 3 de 3 a 4 y de 4 a +00 no? porque trate de hacerlo pero no me da asi, lo que yo hice fue reemplazar la x con un numero que elegi entre por ejamplo -00 y 3 y puse el 1 pero cuando hago la cuenta me queda ln(-2) me queda negativo, que hago mal 
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Julieta
PROFE
26 de septiembre 20:46
@Mallo Hola!! Es porque Bolzano se hace en cuenta teniendo en cuenta el dominio de la función, y el dominio es (3,+∞)(3, +\infty). Como el C0C^0 es 4, tenés que plantear solo 2 intervalos donde evaluar la función: (3,4)(3, 4 ) y (4,+∞)(4, +\infty).
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Estefania
12 de mayo 19:42
Juli! Consulta, por que da -infinito, si lo estamos evaluando con el 3 por la derecha? 2024-05-12%2019:42:44_8732895.png
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Julieta
PROFE
16 de mayo 6:03
@Estefania Hola estefi, porque cuando xx tiende a 3+3^{+} (a tres por derecha), todo el argumento del logaritmo tiende a 0 por derecha 0+0^{+} y si penas en la función ln(x) cuando ésta tiende a cero por derecha se va a - infinito. 

Y no, no tenés nunca ln(x) cuando x tiende a cero por izquierda, porque ln no está definida para 0 ni para valores menores a cero.

Con logarítmicas y exponenciales siempre tenés que analizar qué le pasaría a la función ln(x)ln(x) o exe^x
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