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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Hallar, en cada caso, el dominio, la imagen, las ecuaciones de las asintotas verticales, los ceros, y los conjuntos de positividad y de negatividad de:
d) $f(x)=\ln \left(\frac{1}{2-x}\right)$
d) $f(x)=\ln \left(\frac{1}{2-x}\right)$
Respuesta
Hallemos el dominio:
$\frac{1}{2-x} > 0$
Para resolver esta desigualdad, primero observamos que la fracción es positiva si el denominador ($2-x$) es negativo (ya que el numerador es positivo). Por tanto, acá hay un único caso (te acordás de lo que veíamos en la práctica de números reales?) y es que el denominador sea positivo. Vamos a plantearlo:
$2-x > 0$
$-x > -2$
$x < 2$
• $Domf= (-\infty; 2)$
Hallemos la imagen:
La función logaritmo natural puede tomar cualquier valor real como salida. Esto significa que la imagen de $f(x)$ es $(-\infty, +\infty)$, lo que es lo mismo:
• $Domf= \Re$
Hallemos la asíntota vertical:
Para las funciones logarítmicas evaluamos el límite en el borde del dominio:
$\lim_{{x \to 2^-}} \ln\left(\frac{1}{2-x}\right) = +\infty$
• Hay AV en $x =2$
Hallemos los ceros:
$f(x) = 0$
$\ln\left(\frac{1}{2-x}\right) = 0$
$\frac{1}{2-x} = e^0$
$\frac{1}{2-x} = 1$
$2 - x = 1$
$x = 1$
• $C^0 = \{1\}$
Conjuntos de positividad y negatividad:
Aplicando Bolzano, teniendo en cuenta el dominio de la función y los ceros, nos queda:
•$C^+ = (1; 2)$
•$C^- = (-\infty; 1)$
¿Te animás a mostrar tus cálculos para determinar el conjunto de positividad y negatividad?