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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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4. Hallar la función inversa f−1f^{-1}. Dar su dominio y su imagen.
d) f(x)=1+ln⁡(2x+3)f(x)=1+\ln (2 x+3)

Respuesta

Hallemos la función inversa:

Primero llamamos y=f(x)y=f(x) y luego intercambiamos xx y yy:
y=1+ln⁡(2x+3)y = 1 + \ln(2x+3)
x=1+ln⁡(2y+3)x = 1 + \ln(2y+3) Despejamos yy:
x−1=ln⁡(2y+3)x - 1 = \ln(2y+3)
ex−1=2y+3e^{x-1} = 2y + 3
ex−1−3 =2ye^{x-1} -3 = 2y

12(ex−1−3)=y\frac{1}{2}(e^{x-1} -3) = y


• f−1(x)=12(ex−1−3) f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} -3) 



Hallemos el dominio de imagen de la función inversa:

f−1f^{-1} no presenta restricciones de dominio, por lo tanto:
  
• Dom f−1:RDom\ f^{-1}: \mathbb{R}


La imagen de f−1f^{-1} corresponde al dominio de ff, que son todos los valores de xx para los que 2x+3>02x + 3 > 0 o x>−32x > -\frac{3}{2}.

• Im f−1:R>−32Im\ f^{-1}: \mathbb{R} > -\frac{3}{2}
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