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$2 \cos(x) - \sqrt{3} = 0$
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Resolver las ecuaciones:
c) $2 \cos (x)-\sqrt{3}=0$ para $x \in \mathbb{R}$
c) $2 \cos (x)-\sqrt{3}=0$ para $x \in \mathbb{R}$
Respuesta
Antes de resolver estos ejercicios te recomiendo que mires los videos de funciones trigonométricas, sino, ver las resoluciones sin entender el por qué te puede llegar a resultar un poco frustrante. ¡Vamos que se puede!
Como siempre, primero despejamos la función trignométrica que contiene nuestra incógnita, es decir, el $\cos(x)$:
$2 \cos(x) = \sqrt{3}$
$\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
1. Buscamos en la circunferencia los valores de $x$ que cumplen dicha condición:
1.1. Definimos los cuadrantes:
El coseno de $x$ es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$, es positivo, por lo que los valores que buscamos corresponden al primer y cuarto cuadrante.
1.2. Buscamos los valores de $x$:
De la circunferencia trigonométrica obtenemos dos valores en el intervalo de $0 \leq x < 2\pi$ donde $\cos(x)$ es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$:
- $x_1 = \frac{\pi}{6}$, ya que coseno toma el valor de $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en el primer cuadrante.
- $x_2 = -\frac{\pi}{6}$ o $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$, ya que coseno también toma el valor de $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en el cuarto cuadrante.
2. Buscamos los valores de $x$ en los cuadrantes definidos::
Como $\cos(x)$ es una función periódica con periodo $2\pi$, podemos sumar $2\pi k$ (donde $k$ es un entero $(\mathrm{Z})$ a los valores obtenidos para encontrar las infinitas soluciones generales. (Si no entendés algo de ésto, tranqui, andá a ver los videos de este tema y volvé).
Para $x_1 = \frac{\pi}{6}$:
- $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Para $x_2 = \frac{11\pi}{6}$:
- $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$
Los valores de $x$ en $\mathbb{R}$ que cumplen con $2 \cos(x) - \sqrt{3} = 0$ son:
• $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; k \in \mathbb{Z}$
• $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$; k \in \mathbb{Z}$
Solución: $\left\{ \frac{\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\}$ $\cup$ $\left\{ \frac{11\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\}$
No, no te asustes. Ese $k \in \mathbb{Z}$ que aparece es lo que ya charlamos en el video.
Acordate que cuando no te dan un intervalo donde buscar las soluciones, éstas son INFINITAS. Eso lo expresamos colocando el "+2\pik" luego de cada vallor de $x$ hallado. Ahora bien, la leyenda $k \in \mathbb{Z}$ simplemente significa "con k perteneciente a los números enteros".
Es sencillamente aclarar qué valores podría tomar k. Así que no te me estreses corazón 😊❤️