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$2 \operatorname{sen}(x) + 1 = 0$
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Resolver las ecuaciones:
e) $2 \operatorname{sen}(x)+1=0$ para $x \in R$
e) $2 \operatorname{sen}(x)+1=0$ para $x \in R$
Respuesta
Antes de resolver estos ejercicios te recomiendo que mires los videos de funciones trigonométricas, sino, ver las resoluciones sin entender el por qué te puede llegar a resultar un poco frustrante. ¡Vamos que se puede!
Como siempre, primero despejamos la función trignométrica que contiene nuestra incógnita, es decir, el $\operatorname{sen}(x)$:
$2 \operatorname{sen}(x) = -1$
$\operatorname{sen}(x) = -\frac{1}{2}$
1. Buscamos en la circunferencia los valores de $x$ que cumplen dicha condición:
1.1. Definimos los cuadrantes:
El seno toma el valor de $-\frac{1}{2}$ en el tercer y cuarto cuadrantes, donde es negativo.
1.2. Buscamos los valores de $x$:
De la circunferencia trigonométrica obtenemos dos valores en el intervalo de $0 \leq x < 2\pi$ donde $\operatorname{sen}(x)$ es igual a $-\frac{1}{2}$:
- $x_1 = \frac{7\pi}{6}$, ya que el seno toma el valor de $-\frac{1}{2}$ en el tercer cuadrante.
- $x_2 = \frac{11\pi}{6}$, ya que el seno también toma el valor de $-\frac{1}{2}$ en el cuarto cuadrante.
2. Encontramos todos los posibles valores de $x$ a lo largo de todos los períodos posibles:
De la circunferencia trigonométrica obtenemos dos valores en el intervalo dado donde $\operatorname{sen}(x)$ es igual a $-\frac{1}{2}$:
Para $x_1 = \frac{7\pi}{6}$:
- $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$
Para $x_2 = \frac{11\pi}{6}$:
- $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$
Donde $k$ es cualquier entero ($k \in \mathbb{Z}$) ¿te acordás?
Los valores de $x$ en $\mathbb{R}$ que cumplen con $2 \operatorname{sen}(x) + 1 = 0$ son:
- $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \quad k \in \mathbb{Z}$
- $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k; \quad k \in \mathbb{Z}$
Solución: $\left\{ \frac{7\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\}$ $\cup$ $\left\{ \frac{11\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\}$
No, no te asustes. Ese $k \in \mathbb{Z}$ que aparece es lo que ya charlamos en el video.
Acordate que cuando no te dan un intervalo donde buscar las soluciones, éstas son INFINITAS. Eso lo expresamos colocando el "+2\pik" luego de cada vallor de $x$ hallado. Ahora bien, la leyenda $k \in \mathbb{Z}$ simplemente significa "con k perteneciente a los números enteros".
Es sencillamente aclarar qué valores podría tomar k. Así que no te me estreses corazón 😊❤️