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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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2. Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
b) $f(x)=\frac{2}{x}-\sqrt{x}$ en $x_{0}=4$

Respuesta

Más de lo mismo.. este es un ejercio muy de parcial..
1. Planteamos la ecuación de la recta:
La ecuación de la recta es:

$ y = mx + b $
Para el punto \((x_0, y_0)\) nos queda:

$ y_0 = mx_0 + b $
donde \(m = f'(x_0)\) y \(y_0 = f(x_0)\)

2. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente \(m = f'(x_0)\):
$ f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{x} $
Para derivar \( f(x) \), aplicamos las reglas de derivación que ya vimos:
$ f'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \sqrt{x} \right)' $
Usamos la regla de la derivada de una función de la forma \( \frac{a}{x} \):
$ \left( \frac{2}{x} \right)' = -\frac{2}{x^2} $
Y la regla de la derivada de una raíz cuadrada:
$ \left( \sqrt{x} \right)' = \left( x^{1/2} \right)' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
Entonces, la derivada de \( f(x) \) es:
$ f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $
Ahora evaluamos la derivada en \( x_0 = 4 \):
$ f'(4) = -\frac{2}{4^2} - \frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{2}{16} - \frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{3}{8} $

Entonces, la pendiente \( m \) es:
$ m = -\frac{3}{8} $


3. Ahora calculemos \( y_0 = f(x_0) \):
$ f(4) = \frac{2}{4} - \sqrt{4} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:
$ y_0 = mx_0 + b $

$ -\frac{3}{2} = -\frac{3}{8} \cdot 4 + b $

$ -\frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + b $
Despejamos \( b \):
$ b = 0 $

4. Reemplazamos los valores de \( m \) y \( b \) en la ecuación de la recta: $ y = -\frac{3}{8}x + 0 $
$ y = -\frac{3}{8}x $

La ecuación de la recta tangente es: $ y = -\frac{3}{8}x $
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Emilia
21 de octubre 11:16
hola juli, cuando calculamos f(x0), tenemos que hacer la raiz cuadrada de 4, pero tiene dos soluciones, 2 y -2, osea que un resultado es -3/2 y el otro es 5/2, como se despues cual es el que "corresponde"?
0 Responder
Julieta
PROFE
23 de octubre 13:04
@Emilia Hola Emi, entiendo tu confusión, cuando calculamos f(x0), es decor f(4) vos reemplazas ese valor en la derivada y resolves. Te queda raíz cuadrada de 4, eso siempre da 2 positivo. No existe la raíz cuadrada de un número negativo. 

Me suena a que te estás confundiendo con despejar una x que esté dentro de la raíz cuadrada y que sea igual a 4:

$\sqrt{x} = 4$, y ahí sí tenés dos soluciones posibles (2 y -2), pero ahí vos estás despejando x, mientras que en el ejercicio propuesto vos estás reemplazando la x en una función.
0 Responder
Juliana
14 de octubre 13:53
la pendiente me dio -3/4..no se en que cuenta me equivoco..porque -1/8 -1/4 me da =-3/8
0 Responder
Julieta
PROFE
14 de octubre 15:07
@Juliana Ju, no entendí, o sea, al final te dio - 3/8. Tenés que hacer denominador común, podés ver cómo se hacen en el video de fracciones de los ejercicios preliminares. Acá lo resolví con fracciones equivalentes, pero si lo hacés sacando denominador común llegas a lo mismo :D
1 Responder
Milagros
9 de octubre 11:42
Profe en -3/2=-3/2+b
Abajo puse -3/2+3/2=b
0=b esta bien?
0 Responder
Julieta
PROFE
14 de octubre 15:01
@Milagros Perfecto Mili, sí!!!
1 Responder
Abigail
7 de octubre 21:47
profe cual seria la regla de la derivada de a/x para el 2/x? no la reconozco en la tabla
1 Responder
Abigail
9 de octubre 13:31
@Abigail en la derivada no se podria usar 2x a la menos 1? en que momentos se puede aplicar? 
0 Responder
Julieta
PROFE
14 de octubre 15:05
@Abigail Ahhh, muy interesante, eso lo vimos. Acordate que podés separar la expresión como 2 . 1/x, y cuando te queda la x en el denominador con un 1 en el numerador podés escribirma como $x^{-1}$, así que pasas de tener $\frac{2}{x}$ a tener $2 . x^{-1}$. Y eso se deriva como $a x^n$
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