Volver a Guía
Ir al curso
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
b) $f(x)=\frac{5}{3 x^{2}+7}$ en $x_{0}=0$
b) $f(x)=\frac{5}{3 x^{2}+7}$ en $x_{0}=0$
Respuesta
1. Planteamos la ecuación de la recta tangente, que no es otra que la ecuación de una recta:
La ecuación de la recta es $y = mx + b$.
Para el punto $(x_0, y_0)$ nos queda:
$y_0 = mx_0 + b$
donde $m = f'(x_0)$ y $y_0 = f(x_0)$.
2. Sabemos que ✨$m = f'(x_0)$✨. Por lo que vamos a calcular la derivada de la función para poder hallar la pendiente $m$:
$ f(x) = \frac{5}{3x^2 + 7} $
La derivada de $f(x)$ es:
$ f'(x) = \frac{(0)(3x^2 + 7) - (5)(6x)}{(3x^2 + 7)^2} $
Reordenamos un poco la derivada (no es necesario pero a mi me gusta más)
$ f'(x) = \frac{-30x}{(3x^2 + 7)^2} $
Ahora evaluamos la derivada en $x_0 = 0$ para obtener la pendiente de la tangente:
$ m = f'(0) = \frac{-30(0)}{(3(0)^2 + 7)^2} = \frac{0}{49} = 0 $
$m = 0$
Oh mirá, esto te indica que la recta tangente a la gráfica de $f$ en ese punto es una constante, una línea horizontal. Dato de color.
3. Ahora calculemos $y_0 = f(x_0)$:
$f(x_0) = $f(0)$
$f(0) = \frac{5}{3(0)^2 + 7} = \frac{5}{7}$
$f(0) = \frac{5}{7}$ -> $y_0 = \frac{5}{7}$
4. Reemplacemos los valores de $m$, $x_0$ e $y_0$ en la ecuación de la recta para despejar $b$:
$y_0 = mx_0 + b$
$ \frac{5}{7} = 0 \cdot 0 + b $
$b = \frac{5}{7} $
5. Reemplazamos los valores de $m$ y $b$ en la ecuación de la recta:
$y = 0x + \frac{5}{7}$
La ecuación de la recta tangente es $y = \frac{5}{7}$.
Iniciá sesión o
Registrate para
dejar
tu
comentario.
Comentarios
Ariana
12 de noviembre 9:48
Hola profe Juli. Una pregunta, por que en la derivada lo que esta en parentesis desaparece? yo lo hice y me quedo en el numerador -30X (3X+7) elevado a la 2 y en el numerador si me quedo igual que usted. Como llego a ese resultado?
0
🤖 ExaBoti
Esta conversación es privada
🤖 ExaBoti (privado)