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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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5. Sea f(x)=ln⁡(x2−6x+k)f(x)=\ln \left(x^{2}-6 x+k\right). Hallar k∈Rk \in \mathbb{R} de modo que la pendiente de la recta tangente al grafico de ff en x0=4x_{0}=4 sea igual a 2.

Respuesta

Este el segundo tipo de ejercicio sobre recta tangente que te conté que te pueden tomar: Hallar una incógnita distinta de xx. Si no te acordás de ésto andá a ver los videos de recta tangente.  ¡Comencemos! Recordando lo visto en el curso primero buscamos la derivada de f(x)f(x) y luego la evaluamos en x0=4x_0 = 4 para que la pendiente de la recta tangente sea igual a 2.
La función es f(x)=ln⁡(x2−6x+k)f(x) = \ln(x^2 - 6x + k). Calculamos la derivada usando la regla de la cadena:
f′(x)=1x2−6x+k⋅(x2−6x+k)′ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 6x + k} \cdot (x^2 - 6x + k)'

f′(x)=1x2−6x+k⋅(2x−6) f'(x) = \frac{1}{x^2 - 6x + k} \cdot (2x - 6)


Ahora evaluamos la derivada en x0=4x_0 = 4:
f′(4)=142−6⋅4+k⋅(2⋅4−6) f'(4) = \frac{1}{4^2 - 6 \cdot 4 + k} \cdot (2 \cdot 4 - 6)

f′(4)=116−24+k⋅(8−6) f'(4) = \frac{1}{16 - 24 + k} \cdot (8 - 6)

f′(4)=1k−8⋅2 f'(4) = \frac{1}{k - 8} \cdot 2


Queremos que la pendiente de la recta tangente sea igual a 2, es decir, que f′(4)=2f'(4) = 2:
2k−8=2 \frac{2}{k - 8} = 2

2=2(k−8) 2 = 2(k - 8)

2=2k−16 2 = 2k - 16
 
2+16=2k 2 + 16 = 2k

18=2k 18 = 2k

 
k=182 k = \frac{18}{2}

k=9 k = 9

Por lo tanto, el valor de kk que hace que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x)f(x) en x0=4x_0 = 4 sea igual a 2 es k=9k = 9.
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