Estamos en el tema de estudio de funciones usando la derivada. Si no te acordás de ésto andá al curso, que es la segunda parte de derivadas.  ¡Empecemos!

$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$


2. Hallamos la derivada de la función
$f(x) = 3x^5 - 5x^3 + 1$
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3 + 1)$
$f'(x) = 15x^4 - 15x^2$

3. Buscamos los puntos críticos:

  3.1. Buscamos los valores del dominio de $f$ donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El  $\text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re$. No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$15x^4 - 15x^2 = 0$
$15x^2(x^2 - 1) = 0$
$x^2(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$

Por lo tanto, los puntos críticos son $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$.

4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada $f'(x)$ en cada intervalo:

   -> Para $x$ en Intervalo $(-\infty, -1)$: $f'(-2) = 15(-2)^4 - 15(-2)^2 = 240 - 60 = 180 > 0$. Es decir que $f$ crece.
-> Para $x$ en Intervalo $(-1, 0)$: $f'(-0,5) = 15(-0,5)^4 - 15(-0,5)^2 = 0,9375 - 3,75 = -2,8125 < 0$. Es decir que $f$ decrece.
-> Para $x$ en Intervalo $(0, 1)$: $f'(0,5) = 15(0,5)^4 - 15(0,5)^2 = 0,9375 - 3,75 = -2,8125 < 0$. Es decir que $f$ decrece.
-> Para $x$ en Intervalo $(1, +\infty)$: $f'(2) = 15(2)^4 - 15(2)^2 = 240 - 60 = 180 > 0$. Es decir que $f$ crece.

5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos $x = -1$, $x = 0$, y $x = 1$ son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> $x = -1$: Es un máximo relativo ya que $f'(x)$ pasa de positivo a negativo.
-> $x = 0$: Es un punto de inflexión ya que $f'(x)$ pasa de negativo a negativo.
-> $x = 1$: Es un mínimo relativo ya que $f'(x)$ pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas de los máximos y del mínimo sustituyendo los valores de $x$ en la función $f(x)$:
$f(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 1 = -3 + 5 + 1 = 3$
$f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 1 = 1$
$f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1$

Respuesta: 
Intervalo de crecimiento: $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ Intervalo de decrecimiento: $(-1, 0) \cup (0, 1)$ Máximo relativo en $x = -1$ con coordenada $(-1, 3)$

Mínimo relativo en $x = 1$ con coordenada $(1, -1)$