Volver a Guía
Ir al curso
Reportar problema
@Lola Ella lo explica en el video de estudio de funciones con la derivada, que para buscar los puntos criticos tenes que buscar los valores de x que: 1) pertenezcan al dominio de la función pero no al de la derivada. Y 2) los valores de x que hacen que al derivada valga cero.
0
Responder
@Milagros Cuando simplificas el numerador, combinamos términos semejantes. El término $2x^2 - x^2$ se convierte en $ x^2$, y nos queda:
0
Responder
@Abigail Hola Abi, simplemente buscá las restricciones de dominio que aprendimos en el video de dominio de funciones. Siempre que tengas una función donde hay:
* un denominador con x,
1
Responder
@Lia Hola Lia, ahí desarrollé más para que se entienda. :D
0
Responder
@Mora Hola Mora, ¡Muy atenta! Ahí desarrollé más para que se entienda.
0
Responder
@Macarena En las respuestas del ejercicio. Marca la asíntota, los máximos y mínimos. Y bueno, es un gráfico aproximado. Si querés más detalle o hacerlo más lindo podés agarrar la función y hacer una tabla de valores, reemplazando valores de x en la función y marcando esos puntos.
0
Responder
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
a) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$
a) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$
Respuesta
Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.
1. Calculemos el dominio de la función
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con \( x \).
$ x - 1 = 0 $
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{1\} $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = \frac{x^{2}}{x-1} $
$ f'(x) = \frac{(x^2)'(x - 1) - (x^2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R} - \{1\} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ x^2 - 2x = 0 $
Factorizando por factor común, obtenemos:
$ x(x - 2) = 0 $
$ x = 0 $ y $ x = 2 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1)}{((-1) - 1)^2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0.5) = \frac{(0.5)^2 - 2(0.5)}{(0.5 - 1)^2} = \frac{0.25 - 1}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, 2) \): \( f'(1.5) = \frac{(1.5)^2 - 2(1.5)}{(1.5 - 1)^2} = \frac{2.25 - 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = \frac{3^2 - 2 \cdot 3}{(3 - 1)^2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(0) = \frac{0^2}{0 - 1} = 0 $
$ f(2) = \frac{2^2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 $
6. Asíntotas
6.1. Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \) ya que la función no está definida en ese punto y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 1.
6.2. Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x - 1} = \frac{\infty}{\infty}$
Salvamos la indeterminación y nos queda:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} x = \infty $
No hay asíntota horizontal.
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} - \{1\} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \)
Intervalo de decrecimiento: \( (0, 1) \cup (1, 2) \)
Asíntota vertical: \( x = 1 \)
Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, 0) \)
Mínimo relativo en \( x = 2 \) con coordenada \( (2, 4) \)
El gráfico queda así:
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar
tu
comentario.
Lola
3 de noviembre 22:02
Hola, no entiendo lo que pusiste en el punto 3.1 sobre que dice la derivada no esta definida donde hay que comparar ambos dominios y por alguna razon que es lo que no entiendo no hay punto criticos. No se si se entiende mi pregunta pero no comprendo porque haces eso y porque da lo que da. Gracias!
Santi
19 de noviembre 15:34
0
Responder
Milagros
26 de octubre 10:18
Profe por qué queda en la derivada x^2-2x/(x-1)^2? 094 qué en el numerador quedó asi? Que paso con el dos de adelante y eso?
Julieta
PROFE
30 de octubre 11:37
$f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$
Entonces, el dos de adelante (de $2x(x - 1)$) se aplicó y se simplificó con los términos que quedaron en el numerador. Eso es lo que pasó con el "dos de adelante".
0
Responder
Abigail
8 de octubre 20:41
profe, no entiendo como encontrar el dominio de distintas funciones, en polinomios se que son todos los reales, pero si tengo que derivar una funcion yo sigo sin entender como encontrar el dominio :(
Julieta
PROFE
14 de octubre 16:05
* un denominador con x,
* o un logaritmo natural,
* o una raíz de índice par,
vas a tener que plantear la restricción y hallar el dominio de la función, ya que esta no va a ser "Todos los reales".
1
Responder
Julieta
PROFE
17 de junio 10:26
0
Responder
Mora
8 de junio 16:21
Hola profe, no entiendo lo de la asintota horizontal, no hay q salvar ninguna indeterminacion?
Julieta
PROFE
17 de junio 10:26
0
Responder
Julieta
PROFE
8 de junio 7:59
0
Responder
