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1. Calculemos el dominio de la función
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con $x$, tal como vimos en el video de dominio de funciones.
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
c) $f(x)=\frac{-3 x}{x^{2}+4}$
c) $f(x)=\frac{-3 x}{x^{2}+4}$
Respuesta
Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.
$ x^2 + 4 = 0 $
$ x^2 = -4 $ -> esto absurdo
No hay valores reales de \( x \) que hagan que el denominador sea cero, ya que \( x^2 + 4 \) siempre es positivo.
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = \frac{-3x}{x^2 + 4} $
$ f'(x) = \frac{(-3)(x^2 + 4) - (-3x)(2x)}{(x^2 + 4)^2} $
$ f'(x) = \frac{-3x^2 - 12 + 6x^2}{(x^2 + 4)^2} $
$ f'(x) = \frac{3x^2 - 12}{(x^2 + 4)^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 3x^2 - 12 = 0 $
$ 3x^2 = 12 $
$ x^2 = 4 $
$ x = 2 $ y \( x = -2 \)
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = \frac{3(-3)^2 - 12}{((-3)^2 + 4)^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 2) \): \( f'(0) = \frac{3(0)^2 - 12}{((0)^2 + 4)^2} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = \frac{3(3)^2 - 12}{((3)^2 + 4)^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -2 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -2 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(-2) = \frac{-3(-2)}{(-2)^2 + 4} = \frac{6}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $
$ f(2) = \frac{-3(2)}{2^2 + 4} = \frac{-6}{4 + 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $
6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
No hay asíntotas verticales ya que la función está definida en todo \(\mathbb{R}\).
6.2 Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = 0 $
Por lo tanto, la asíntota horizontal es \( y = 0 \).
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)
Intervalo de decrecimiento: \( (-2, 2) \)
Asíntota vertical: No hay
Asíntota horizontal: \( y = 0 \)
Máximo relativo en \( x = -2 \) con coordenada \( \left(-2, \frac{3}{4}\right) \)
Mínimo relativo en \( x = 2 \) con coordenada \( \left(2, -\frac{3}{4}\right) \)
El gráfico quedaría así: