Volver a Guía
Ir al curso
1. Calculemos el dominio de la función
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con $x$, tal como vimos en el video de dominio de funciones.
Reportar problema
@Milagros Hola Mili! Igual que en todos los ejercicios. Tenemos una indeterminación, así que la salvamos sacando esa especie de "factor común x" en el denominador (en el numerador no hace falta pues, ya está factorizada la expresión). Podés ver la resolución de estos ejercicios en el video donde hablamos de cuando x tiende a infinito.
0
Responder
@Milagros Tenías -3x^2 + 6x^2, simplemente se hace la cuenta porque ambas son de x^2, así que si hacés -3+6 te da 3 positivo: 3x^2
0
Responder
@Emilia Hola! Emi, acordate que siempre evaluamos las asíntotas horizontales cuando x tiende hacia -infinito y hacia + infinito. No nos importa qué pase con la función en el medio, solo miramos si tiende o no a algún valor en y a valores muuuuuuuy pequeños de x (-infinito) o a valores muuuuuy grandes de x (+infinito).
0
Responder
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
c) $f(x)=\frac{-3 x}{x^{2}+4}$
c) $f(x)=\frac{-3 x}{x^{2}+4}$
Respuesta
Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.
$ x^2 + 4 = 0 $
$ x^2 = -4 $ -> esto absurdo
No hay valores reales de \( x \) que hagan que el denominador sea cero, ya que \( x^2 + 4 \) siempre es positivo.
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = \frac{-3x}{x^2 + 4} $
$ f'(x) = \frac{(-3)(x^2 + 4) - (-3x)(2x)}{(x^2 + 4)^2} $
$ f'(x) = \frac{-3x^2 - 12 + 6x^2}{(x^2 + 4)^2} $
$ f'(x) = \frac{3x^2 - 12}{(x^2 + 4)^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 3x^2 - 12 = 0 $
$ 3x^2 = 12 $
$ x^2 = 4 $
$ x = 2 $ y \( x = -2 \)
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = \frac{3(-3)^2 - 12}{((-3)^2 + 4)^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 2) \): \( f'(0) = \frac{3(0)^2 - 12}{((0)^2 + 4)^2} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = \frac{3(3)^2 - 12}{((3)^2 + 4)^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -2 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -2 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(-2) = \frac{-3(-2)}{(-2)^2 + 4} = \frac{6}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $
$ f(2) = \frac{-3(2)}{2^2 + 4} = \frac{-6}{4 + 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $
6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
No hay asíntotas verticales ya que la función está definida en todo \(\mathbb{R}\).
6.2 Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = 0 $
Por lo tanto, la asíntota horizontal es \( y = 0 \).
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)
Intervalo de decrecimiento: \( (-2, 2) \)
Asíntota vertical: No hay
Asíntota horizontal: \( y = 0 \)
Máximo relativo en \( x = -2 \) con coordenada \( \left(-2, \frac{3}{4}\right) \)
Mínimo relativo en \( x = 2 \) con coordenada \( \left(2, -\frac{3}{4}\right) \)
El gráfico quedaría así:
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar
tu
comentario.
Milagros
26 de octubre 12:13
Profe me podria explicar la asintota horizontal que da cero? Como resolvió la indeterminación? Porque no me sale🫠
Julieta
PROFE
29 de octubre 19:04
0
Responder
Milagros
26 de octubre 11:56
Profe que paso con el 6x^2 en la derivada? Y porque -3^2 pasa a positivo?
Julieta
PROFE
29 de octubre 19:05
0
Responder
Emilia
24 de octubre 17:45
Hola juli, no entiendo si la asintota horizontal es 0, porque la funcion entonces “corta” el eje x
Julieta
PROFE
29 de octubre 19:03
0
Responder