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@Candelaria Hola! Miralas en el video de dominio de funciones que es super importantes que las sepas bien
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
d) $f(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}$
d) $f(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}$
Respuesta
Bueno, vamos por partes.. Preparate el mate o un café porque es un poquito largo. ¡Vamos!
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1. Calculemos el dominio de la función
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con $x$, tal como vimos en el video de dominio de funciones.
$ x^2 - 2x = 0 $
Factorizando por factor común, obtenemos:
$ x(x - 2) = 0 $
\( x = 0 \) y \( x = 2 \).
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{0, 2\} $
Sí, ya sé, capaz voy despejaste la $x$ y te dio lo mismo, está bien, es otra forma de hacerlo 😊
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} $
$ f'(x) = \frac{(-3)(x^2 - 2x) - (8 - 3x)(2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2} $
$ f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - (16x - 16 - 6x^2 + 6x)}{(x^2 - 2x)^2} $
$ f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - 16x + 16 + 6x^2 - 6x}{(x^2 - 2x)^2} $
$ f'(x) = \frac{3x^2 - 16x + 16}{(x^2 - 2x)^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 3x^2 - 16x + 16 = 0 $
$ x_1 = 4 $
$ x_2 = \frac{4}{3} $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 16(-1) + 16}{((-1)^2 - 2(-1))^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, \frac{4}{3}) \): \( f'(1) = \frac{3(1)^2 - 16(1) + 16}{((1)^2 - 2(1))^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (\frac{4}{3}, 2) \): \( f'(1,5) = \frac{3(1,5)^2 - 16(1,5) + 16}{((1,5)^2 - 2(1,5))^2} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, 4) \): \( f'(3) = \frac{3(3)^2 - 16(3) + 16}{((3)^2 - 2(3))^2} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (4, +\infty) \): \( f'(6) = \frac{3(6)^2 - 16(6) + 16}{((6)^2 - 2(6))^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = \frac{4}{3} \) y \( x =4 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = \frac{4}{3} \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 4 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximos y del mínimo sustituyendo los valores de $x$ en la función \( f(x) \):
$ f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8 - 3\left(\frac{4}{3}\right)}{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right)} = \frac{8 - 4}{\frac{16}{9} - \frac{8}{3}} = \frac{4}{\frac{16}{9} - \frac{24}{9}} = \frac{4}{\frac{-8}{9}} = -\frac{9}{2} $
$f(4)= \frac{8-3.4}{4^{2}-2.4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$
6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en \( x = 0 \) y en \( x = 2 \) ya que la función no está definida en esos puntos y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 0 y 2. Si te animás planteálos límites en comentarios 👇
6.2 Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = 0 $
Por lo tanto, la asíntota horizontal es \( y = 0 \).
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} - \{0, 2\} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (4, +\infty) \)
Intervalo de decrecimiento: \( (\frac{4}{3}, 2) \cup (2, 4) \)
Asíntota vertical: \( x = 0 \) y \( x = 2 \)
Asíntota horizontal: \( y = 0 \)
Máximo relativo en \( x = \frac{4}{3} \) con coordenada \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{9}{2}\right) \)
Máximo relativo en \( x = 4 \) con coordenada \( \left(4, -\frac{1}{2}\right) \)
El gráfico quedaría así:
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Candelaria
1 de noviembre 14:26
El dominio siempre tiene que ser igual a 0? Tenía entendido que a ces es distinto de 0 y no recuerdo cuales eran las reglas para eso
Julieta
PROFE
8 de noviembre 9:39
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