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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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9. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de ff.
d) f(x)=8−3xx2−2xf(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}

Respuesta

Bueno, vamos por partes.. Preparate el mate o un café porque es un poquito largo. ¡Vamos!
1. Calculemos el dominio de la función

f(x) f(x) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con xx, tal como vimos en el video de dominio de funciones.
x2−2x=0 x^2 - 2x = 0
Factorizando por factor común, obtenemos:
x(x−2)=0 x(x - 2) = 0
x=0 x = 0 y x=2 x = 2 . 

  
Dom(f)=R−{0,2} \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{0, 2\}
Sí, ya sé, capaz voy despejaste la xx y te dio lo mismo, está bien, es otra forma de hacerlo 😊



2. Hallamos la derivada de la función
  
f(x)=8−3xx2−2x f(x) = \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x}
 
f′(x)=(−3)(x2−2x)−(8−3x)(2x−2)(x2−2x)2 f'(x) = \frac{(-3)(x^2 - 2x) - (8 - 3x)(2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2}
 
f′(x)=−3x2+6x−(16x−16−6x2+6x)(x2−2x)2 f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - (16x - 16 - 6x^2 + 6x)}{(x^2 - 2x)^2}
f′(x)=−3x2+6x−16x+16+6x2−6x(x2−2x)2 f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - 16x + 16 + 6x^2 - 6x}{(x^2 - 2x)^2}
f′(x)=3x2−16x+16(x2−2x)2 f'(x) = \frac{3x^2 - 16x + 16}{(x^2 - 2x)^2}


3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de f f donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re). No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
 
Igualamos la derivada a cero:
3x2−16x+16 =0 3x^2 - 16x + 16 = 0

x1=4 x_1 = 4
x2=43 x_2 = \frac{4}{3}
  


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Evaluamos la derivada f′(x) f'(x) en cada intervalo:
  
-> Para x x en Intervalo (−∞,0) (-\infty, 0) : f′(−1)=3(−1)2−16(−1)+16((−1)2−2(−1))2>0 f'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 16(-1) + 16}{((-1)^2 - 2(-1))^2} > 0 . Es decir que f f crece.

-> Para x x en Intervalo (0,43) (0, \frac{4}{3}) : f′(1)=3(1)2−16(1)+16((1)2−2(1))2 >0 f'(1) = \frac{3(1)^2 - 16(1) + 16}{((1)^2 - 2(1))^2} > 0 . Es decir que f f crece.

-> Para x x en Intervalo (43,2) (\frac{4}{3}, 2) : f′(1,5)=3(1,5)2−16(1,5)+16((1,5)2−2(1,5))2 <0 f'(1,5) = \frac{3(1,5)^2 - 16(1,5) + 16}{((1,5)^2 - 2(1,5))^2} < 0 . Es decir que f f  decrece.

-> Para x x en Intervalo (2,4) (2, 4) : f′(3)=3(3)2−16(3)+16((3)2−2(3))2<0 f'(3) = \frac{3(3)^2 - 16(3) + 16}{((3)^2 - 2(3))^2} < 0 . Es decir que f f  decrece.


-> Para x x en Intervalo (4,+∞) (4, +\infty) : f′(6)=3(6)2−16(6)+16((6)2−2(6))2 >0 f'(6) = \frac{3(6)^2 - 16(6) + 16}{((6)^2 - 2(6))^2} > 0 . Es decir que f f crece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos x=43 x = \frac{4}{3} y  x=4 x =4 son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> x=43 x = \frac{4}{3} : Es un máximo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de positivo a negativo.


-> x=4 x = 4 : Es un mínimo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximos y del mínimo sustituyendo los valores de xx en la función f(x) f(x) :
f(43)=8−3(43)(43)2−2(43)=8−4169−83=4169−249=4−89=−92 f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8 - 3\left(\frac{4}{3}\right)}{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right)} = \frac{8 - 4}{\frac{16}{9} - \frac{8}{3}} = \frac{4}{\frac{16}{9} - \frac{24}{9}} = \frac{4}{\frac{-8}{9}} = -\frac{9}{2}

f(4)=8−3.442−2.4= −48=−12f(4)= \frac{8-3.4}{4^{2}-2.4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}





6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en x=0 x = 0 y en x=2 x = 2 ya que la función no está definida en esos puntos y f(x) f(x) tiende a infinito cuando x x se acerca a 0 y 2. Si te animás planteálos límites en comentarios 👇

6.2 Asíntota horizontal:

lim⁡x→∞8−3xx2−2x=lim⁡x→∞−3xx2=lim⁡x→∞−3x=0 \lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = 0
Por lo tanto, la asíntota horizontal es y=0 y = 0 .


Respuesta: Dominio: R−{0,2} \mathbb{R} - \{0, 2\}

Intervalo de crecimiento: (−∞,0)∪ (0,43)  ∪ (4,+∞) (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3})  \cup (4, +\infty)

Intervalo de decrecimiento:  (43,2) ∪(2,4) (\frac{4}{3}, 2) \cup (2, 4)

Asíntota vertical: x=0 x = 0 y x=2 x = 2

Asíntota horizontal: y=0 y = 0

Máximo relativo en x=43 x = \frac{4}{3} con coordenada (43,−92) \left(\frac{4}{3}, -\frac{9}{2}\right)

Máximo relativo en x=4 x = 4 con coordenada (4,−12) \left(4, -\frac{1}{2}\right)




El gráfico quedaría así:


2024-05-27%2012:53:57_1341313.png
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Candelaria
1 de noviembre 14:26
El dominio siempre tiene que ser igual a 0? Tenía entendido que a ces es distinto de 0 y no recuerdo cuales eran las reglas para eso
0 Responder
Julieta
PROFE
8 de noviembre 9:39
@Candelaria Hola! Miralas en el video de dominio de funciones que es super importantes que las sepas bien
0 Responder
Milagros
26 de octubre 17:17
Por qué la ah da cero? Hago rl limite pero no me da eso
0 Responder
Julieta
PROFE
30 de octubre 15:59
@Milagros Hola! Te queda primero una indeterminación y la tenés que salvar tal como vemos en el video de limites cuando x tiende a infinito
0 Responder